張量是物理上定義某些量所需要的數學對象。關於它們，我有幾個問題需要澄清：
矩陣和二階張量是否是同一事物？
如果對1的答案為是，那麼我們可以將3階張量視為3D晶格中的有序數字集（就像我們可以將矩陣視為2D晶格中的有序數字集一樣） ？
二階張量可以由矩陣表示，就像一階張量可以由數組表示一樣。但是，張量不僅限於組件的排列，還包括更多內容。我們還需要包括數組如何在基礎改變的情況下進行轉換。因此，張量是滿足特定變換定律的n維數組。
是的，可以將三階張量表示為數字的3維數組-結合相關的變換定律
通常首先將矩陣引入到學生中，以表示線性變換，這些變換採用$ \ mathbb {R} ^ n $中的向量並將它們映射到$ \ mathbb {R} ^ m $中的向量。給定的線性變換可以由無限多個不同的矩陣表示，具體取決於為$ \ mathbb {R} ^ n $和$ \ mathbb {R} ^ m $選擇的基本矢量，並且定義明確的變換定律允許重寫
第二秩張量非常相似，但是對於考慮非歐幾里德（非平坦）距離度量的應用，存在一個重要的區別，例如廣義相對論。二階張量不僅可以將$ \ mathbb {R} ^ n $映射到$ \ mathbb {R} ^ m $，而且還可以映射$ \ mathbb {R} ^ n $或$ \ mathbb的對偶空間之間{R} ^ m $。張量的變換定律類似於線性算子首先學到的定律，但允許增加的靈活性，允許張量在作用於對偶空間之間進行切換。
請注意，對於歐幾里得距離度量，對偶空間和原始向量空間是相同的，因此在這種情況下，此區分無關緊要。
此外，第二階張量可以不僅充當從一個向量空間到另一個向量空間的映射。張量“收縮”（向量的點積的一般化）的操作允許第二級張量作用於其他第二級張量以產生標量。此收縮過程可推廣到高維張量，從而允許不同等級的張量之間的收縮以產生不同等級的乘積。用矩陣表示，僅表示頁面上數字的行和列。我想做的是區分矩陣，因為矩陣是首次引入以表示向量空間中的線性算子，而矩陣則表示我所描述的稍微靈活的對象
矩陣是具有1個索引向上和1個索引向下的第二階張量的特殊情況。它使用矢量到矢量（通過將矢量的上標與張量的下標收縮），矢量和矢量（通過將矢量的下標與張量的上標收縮）進行矢量處理。可以通過作用於一個向上索引來使m上/ n-下張量成為m上/ n-下張量，通過作用於一個較低的索引來使m上/ n-下張量或m-1 -upper / n-1-lower通過收縮一個上索引和一個下索引。
如果知道張量，矩陣表示法沒有任何好處，這是張量積加一個收縮的運算的一種特殊情況產生相同類型的對象。張量表示法適當地概括了向量和線性代數的演算，以構成正確的數學對象。
嚴格來說，矩陣和2級張量不是一回事，但是有一個緊密的對應關係，可以滿足物理學家遇到的大多數實際目的。
矩陣是數字（或某些字段或環的值）的二維數組。 2級張量是從兩個向量空間到某個字段（例如實數）的線性映射。如果向量空間是有限維的，則可以為每個向量選擇一個基礎，並形成一個組成矩陣。矩陣和秩2張量之間的對應關係是一對一的，因此您可以將它們視為同一事物，但嚴格來說它們只是等效的。
您可以構成無窮維向量空間的情況其中即使字段是實數且矩陣可以具有無限個分量，也無法在對應張量的矩陣方面進行有意義的表示。這些示例中的一些與物理學有關，例如當向量空間是維（無用）無窮大的泛函時。因此，即使您只是物理學家，也要牢記實際上是張量和矩陣矩陣之間的區別。
這是我的寵兒。在我職業生涯的早期，曾擔任過幾何學家。之前的許多討論都是正確的。各種等級的張量是線性變換。但是，張量在所選坐標系下是不變的。
最簡單的將其視為向量的方法是幅度和方向，並且一旦選擇坐標系，就可以將 only 表示為數組。同樣，當選擇坐標係時，秩2張量只能 表示為矩陣。
這就是為什麼它在物理學中被用作各向異性晶體的應力能張量或折射率張量的原因。正是這種坐標不變性使其對於描述物理性質很有用。
不。矩陣可以表示任意數量的事物，數字，符號列表或電影名稱。但是它永遠不可能是張量。矩陣只能用作張量的某些表示形式，但是，它們掩蓋了張量的所有幾何屬性，而張量只是矢量上的多線性函數。
$$ \ def \ cR＃1 {\ color {red} {＃1}} \ def \ cG＃1 {\ color {green} {＃1}} $$ span>
它們看起來很相似，但是...
當我們轉換2級張量 $ T_ {ij} $ span>時，索引經常會令人困惑。由於矩陣可以表示2級張量，因此很容易開始相乘。但是索引順序至關重要。
現在，進行規則矩陣乘法， $ C = AB $ span>對A的第二個索引和B的第一個索引求和： $ C_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B _ {\ cR {c} b} $ span>，其中 $ \ cR {c} $ span>是總索引（“虛擬索引”）。
如果我們使用B的第二個索引 $ D_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B_ {b \ cR {c}} $ span>，那麼我們得到的是 $ D = AB ^ T $ span>。
我們在一本教科書中讀到“ T在旋轉R下像張量一樣變換” $ T_ {ab} \ rightarrow T'_ {ab} = R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ span>。 重要地注意，一個R對第一個索引進行操作，另一個R對第二個索引進行操作。
因此，這不是 表示矩陣表示法中的 $ T \ rightarrow T'= RRT $ span>。錯了！
正確的矩陣表示法是 $ T \ rightarrow T'= RTR ^ T $ span>。
看到對應關係可能會很棘手，會丟失索引。使用中介 $ D_ {bc} = R_ {b \ cR {d}} T_ {c \ cR {d}} $ span>（類似於上面的 $ D = RT ^ T $ span>），這樣 $ R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ span>變為 $ R_ {a \ cR {c}} D_ {b \ cR {c}} $ span>。 這也將D的第二個索引相加，因此等於 $ RD ^ T $ span>。 替換為 $ D：RD ^ T = R（RT ^ T）^ T = R（T ^ T）^ T（R）^ T = RTR ^ T的值。 $ span>
3的示例：矩陣M（m11 = x，m12 = -y，m21 = x ^ 2，m22 = -y ^ 2）。此矩陣不是張量等級2。將矩陣M測試為旋轉矩陣。