我也有同樣的問題。訣竅在於，認識到泰勒系列與泰勒逼近或多項式之間存在重要區別，泰勒的描述了它們的行為定理。是的，我經常懷疑一個常見的錯誤是，您首先看到泰勒多項式和定理，然後獲得泰勒級數，這成為焦點，突然間您就忘記了其餘部分。

但是在這裡，當我們“截斷”泰勒級數時，我們實際上正在做的是回到泰勒多項式，因為這就是截斷的泰勒級數-或者，泰勒級數是無限級的自然擴展。在這種情況下，泰勒的定理精確地告訴您它是如何近似地工作的-令人驚訝的是-它根本不需要任何分析性。當您考慮完全級數時，只有分析性起作用[em]：實際上，泰勒定理告訴您的是，有限的泰勒多項式仍將起作用甚至是 non 解析函數的近似值，只要您適當地接近要採用多項式的點，並且該函數的微分足以使之成為給定的學位。

具體來說，泰勒定理告訴您，無論分析還是不分析，如果您削減泰勒級數以使最高項具有度 $ N $ ， span>，形成泰勒多項式（或截斷的泰勒級數） $ T_N（a，x）$ span>，其中 $ a $ span>是擴展點，您已經

$$ f（x）= T_N（a，x）+ o（| x-a | ^ N），\ \ \ \ \ x \ rightarrow a $$

，其中最後一部分定義了剩餘項的行為：這是“小O表示法”，意味著與綁定的 $ | x-a相比，錯誤消失了| ^ N $ span>。

以基本數學物理學為例，考慮對牛頓力學中“病理”勢的分析，由給出

$$ U（x）：= \ begin {cases} e ^ {-\ frac {1} {x ^ 2}}，\ x \ ne 0 \\ 0 ，\ \ mbox {otherwise} \ end {cases} $$ span>

在任何地方都很平滑 ，但是當 $ x = 0 $ span>時不是分析。特別是，這很糟糕，不僅不進行分析，而且泰勒級數存在，甚至收斂 ...只是對錯誤的事情！：

$$ U（x）\“ =” \ 0 + 0x + 0x ^ 2 + 0x ^ 3 + 0x ^ 4 + \ cdots，\ \ \ \ \ mbox {接近$ x = 0 $} $$ span>

...是的，在每個詞條上都等於0，因此右邊的表達式等於 $ 0 $ span>！ pan> >

（添加-查看評論：否...不是那個 0！...呃...哎呀... uhhh ...）

儘管如此，儘管從技術上講這是“錯誤的”，但只要您謹慎 em，對於該系統，通常的分析方法仍會告訴您“正確的事情”。 >：尤其是，我們注意到 $ x = 0 $ span>看起來像是某種“均衡”，因為 $ U'$ span>在那里為零，但是我們還注意到，我們被告知-正確！ -我們不應該應用諧波振盪器近似值，因為我們還擁有 $ x ^ 2 $ span>前面的係數為0，因為好吧。

我們在兩個結論中都成立了理由，因為儘管這個泰勒系列是“壞的”，但泰勒的定理仍然可以寫出截斷的級數，因此泰勒多項式

$$ U（x）\約0 + 0x + 0x ^ 2，\ \ \ \ \ mbox {near $ x = 0 $} $$ span>

即使它“等於 $ 0 $ span>”，因為此 $ U（x）$ span>是“因此由常數函數 $ U ^ {*}（x）：= 0 $ span>“精確逼近，它就是 $ o （| x | ^ N）$ span>用於每訂單 $ N > 0 $ span>，因此，尤其是 $ N = 2 $ span>！因此，諧波分析及其失效結論仍然為100％合理！

ADD（IE + 1936.6817女士-2018-05-16）：根據下面添加的評論，此故事中有一個額外的皺紋，該皺紋本來是想提及但並未考慮，我想也許我現在應該。

實際上，有兩種不同的方法可以使泰勒級數在某點上不進行分析而在某點上採用時失敗。其中一種是我上面顯示的方式-泰勒級數收斂，但它收斂到“錯誤”的東西，因為它不等於該點附近任何非平凡區間中的函數（您可能能夠在一些奇怪的塵土飛揚/破裂的集合上使其等於它，但沒有任何間隔），即沒有間隔 $ [a-\ epsilon，a + \ epsilon ] $ span>和 $ \ epsilon \ ne 0 $ span>。這樣的點稱為 Cauchy點，或 C點。

另一種方式是泰勒級數實際上具有收斂半徑0，即它不會在 $ \ epsilon \ ne 0 $ span>。這種點稱為 Pringsheim點，或 P點。這種情況沒有得到證明，但是即使在這種情況下，泰勒級數仍然是漸近級數，因為如果您“距離足夠近，而且，您離擴展點 $ a $ span>越近，您在停止收斂並再次開始分歧之前可以使用的術語越多。由於在物理學中，我們通常很感興趣-尤其是。對於諧波振盪器-僅在幾個低階項中，級數的最終行為並不重要，即使函數在此處不進行解析，我們仍然可以使用它來獲得接近平衡點的諧波近似值-例如考慮具有 $ U_3（x）：= U（x）+ \ frac {1} {2} kx ^ 2 $ span> “> $ k > 0 $ span>，在這裡我們使用了上面剛剛給出的第一個電位。這也不是在 $ x = 0 $ span>上進行分析的，但是儘管如此，諧波近似不僅可以工作，而且可以很好地工作，並且頻率為 $ \ omega：= \ sqrt {\ frac {k} {m}} $ span>照常。

請參閱：

https://math.stackexchange.com/questions/620290/is-it-possible-for-a-function-to-smooth-everywhere-analytic-nowhere-yet-tay

Stone-Weierstrass定理說，緊湊區間上的任何連續函數都可以通過多項式任意近似地逼近。因此，只要我們只想解釋實驗結果（而不是理論模型的精確解決方案），級數展開就足夠了。也就是說，無論我們要描述什麼，都有一個模型（至少在統計意義上）可以準確地描述它並且可以分析。因此，似乎似乎不明顯，我們是否能夠分辨出這個世界是否是分析性的，或者僅僅是 $ C ^ \ infty $ span>甚至是 $ C ^ 0 $ span>！

當然，實際上，我們的理論對此類函數的值進行了無數的預測，例如力學將其預測為微分方程的解，場論通過一些積分進行預測。通常，我們無法準確評估理論預測，因此我們使用數字或漸近級數方法。從我們的模型中得到的東西往往不是分析性的，所以我認為我們所有的這些分析性和可解模型都對我們的物理教育有些偏愛。

為什麼對理論模型有這麼多（但不是全部！）精確的解決方案是真實的甚至是複雜的分析的問題，卻是一個完全不同的討論，而且，儘管因果關係確實有一定的影響，但這是一個更加神秘的問題一個>。例如，時間的響應函數總是將上半平面的複雜時間擴展。

但更神秘的是，諸如KdV方程，第一個描述孤子的方程，其可積性與橢圓曲線密切相關。因此，可集成性似乎不僅與分析能力有關，甚至與代數有關！但這是一個相當隱蔽的連接，因為KdV本身的解決方案是超驗的。無論如何，我還是推薦我鏈接的書。它是為大學生寫的，很有趣。

如果我們知道 $ f $ span>在 $ t $ span>的值，我們想知道小 $ \ Delta t $ span>的 $ f（t + \ Delta t）$ span>的值，則最基本的操作是假設 $ f（t + \ Delta t）= f（t）$ span>。這被稱為“零階近似”。在微積分中，您了解了切線。用切線，而不是用固定值逼近函數，而是用直線逼近，直線的斜率是導數： $ f（t + \ Delta t） = f（t）+（\ Delta t）f'（t）$ span>。這是“一階近似”。因此，這將導數視為常數，即以導數的零階近似給出函數的一階近似。

我們可以代之以計算導數的一階逼近，然後使用它來逼近函數。這將是該函數的二階近似。我們有 $ f'（t + \ Delta t）= f'（t）+（\ Delta t）f''（t）$ span>，並將其積分 $ f（t + \ Delta t）= f（t）+（\ Delta t）f'（t）+ \ frac {（\ Delta t）^ 2} {2} f ”（t）$ span>。我們可以繼續這個過程，然後n階近似將只是泰勒級數的前n個（零索引）項。這並不是在假設函數是解析的；它只是應用直觀的策略來近似功能。

那麼有效嗎？好吧，如果我們在區間上對 $ f $ span>的第n個導數有界，那麼我們可以用它在第（n-1）個上設界導數，然後可以在第（n-2）個數上給出一個界，依此類推。因此，即使不知道 $ f $ span>是解析的，對n階導數定界也可以對n階逼近誤差給出限。

因此，即使大自然在努力中順利進行， 分析應該這樣做的概率基本上為零

這個含義從何而來？我們在物理學中使用的大多數方程都是由確實具有解析功能的函數求解的：這是因為大多數方程都是微分的，並且可以使用柯西條件進行證明。在這種情況下，使用冪級數展開是有道理的，並且您對預測所做的錯誤與選擇停在哪個順序成正比。

在其他一些情況下，函數不是解析函數，實際上沒有一個函數不能盲目地應用此類展開：古典電動力學的整個領域都涉及格林函數和殘差定理（僅舉一個）或奇異極點的研究。QFT中的拉格朗日主義者（再提到另一個）。

您應該注意的其他事項：

要談論分析性，您必須談論導數，而要談論衍生性，則需要限制。實際上，即使要談論連續性，也需要限制。要談論極限，您必須將事物定義為無限精確。

但是，當您將精度推得過高時，定義物理值的整個概念就會崩潰。如果要談論物體的速度，則必須能夠定義其位置。但這需要對對像是什麼進行精確定義。真實的物理對象將原子釋放到環境中並從中獲取其他原子。在任何時候，您如何準確確定哪些原子是對象的一部分，哪些不是對象的一部分？您的大部分對像是這些原子之間的開放空間。您如何準確地定義對物體體積有影響的開放空間與外部開放空間之間的邊界在哪裡？

此外，據信可測量尺寸還有一個基本的下限：普朗克長度。沒有什麼可以衡量的（目前，沒有任何東西可以衡量很多）。但是不能用這樣的限制來定義限制。限制的定義不允許您達到目標多近的下限。因此，談論涉及物理測量的極限是沒有意義的。而且，如果您不能談論極限，就不能談論連續性或導數或分析性或泰勒級數。

如果要對對象移動進行最全面的測量，甚至在理論上也可能做到，那麼最終將無法獲得定義明確的數學函數。取而代之的是，您最終將獲得具有錯誤範圍的數據，該錯誤範圍將包含無數個函數。在這些功能中，有些功能表現不佳-在任何時候都不連續。但是在那些功能中，還有一些是可以分析的。

所有這些功能都可以對物體的運動提供同樣準確的描述。不連續的函數很難使用，但是解析函數具有出色的行為。這是你的選擇。您更喜歡使用哪個？

我認為您的問題的核心是陳述：

因此，即使大自然在其努力中順利進行， 分析應該這樣做的概率基本上為零

這是重點。我們：

• 觀察現象
• 使用解析函數構建這些模型
  • 主要是因為它更容易
• 使用數學來分析和創建預測
• 測試這些預測
• 如果這些預測得到證實，那麼我們可以認為該模型有用。

在任何地方都不假設自然界如何運作，或者宇宙的基本結構在邏輯上等同於分析

因此，您真正觀察到的是基於分析函數的模型是有用的。

添加到 Sympathiser的答案中-可以看到為什麼存在 $ e ^ {-1 / x} $ span>之類的函數的原因將它們改寫為“比任何多項式快接近零且接近零的函數”也就不足為奇了。從根本上講，這並不比例如令人驚訝。比每個多項式增長得更快的函數-實際上，對於任何比每個多項式增長得更快的函數 $ f（x）$ span> -container“> $ \ frac1 {f（1 / x）} $ span>比任何多項式更快地接近零到零。

因此，對於快速增長的 $ f（x）= e ^ x $ span>，人們可以獲得相應的平滑非解析 $ e ^ {-1 / x} $ span>。對於 $ x ^ x $ span>，將獲得 $ x ^ {1 / x} $ span>。對於 $ x！$ span>，將獲得 $ \ frac {1} {（1 / x）！} $ span >，依此類推。

查看我的帖子 e ^（-1 / x）和什麼？關於平滑的非解析函數：請參閱I，以獲得更完整的說明。