具有自旋的無質量粒子沒有“ $ S_z = 0 $”狀態，因為它們實際上沒有像大質量粒子那樣自旋。它們具有 helicity ，即自旋算子在動量算子上的投影值。原因是時空對稱性群龐加萊群的表示理論。

要理解這一點，我們必須首先記住，“旋轉”是標記$ \ mathrm {SU}（2）$（旋轉組$ \ mathrm {SO}（3）的雙重覆蓋）的不可約表示的數字。 $。但是，在描述光子的相對論量子場論中，這個旋轉群不是我們需要表示的時空對稱群。相反，我們必須尋求龐加萊（Poincaré）組$ \ mathrm {SO}（1,3）\ rtimes \ mathbb {R} ^ 4 $的身份關聯組件的表示，即適當的正交Lorentz變換和翻譯。 >

現在，對於洛倫茲群的有限維表示形式，我們很幸運，因為$ \ mathfrak {so}（1,3）$和$ \ mathfrak { su}（2）\ times \ mathfrak {su}（2）$，使我們可以用半整數對$（s_1，s_2）$標記經典相對論場在其中進行轉換的有限維表示，其中$ s_i \ in \ frac {1} {2} \ mathbb {Z} $標記單個$ \ mathfrak {su}（2）$表示形式。實際的旋轉代數對角地位於$ \ mathfrak {su}（2）\ times \ mathfrak {su}（2）$中，因此這種表示形式的物理自旋為$ s_1 + s_2 $。這確定了與字段相關的經典自旋。

通常，量子理論使事情變得更複雜：維格納定理意味著我們現在必須在我們的希爾伯特狀態空間上尋找龐加萊群的 unit 表示。除了對應於真空的瑣碎表示之外，所有有限維表示都不是單一的（本質上是因為龐加萊群是非緊緻的，並且沒有緊湊的法向子群）。因此，我們必須求助於無窮維表示，在這裡我們沒有$ \ mathfrak {so}（1,3）$和$ \ mathfrak {su}（2）\ times \ mathfrak {su }（2）$ 。用於實現這種等效性的技術明確地依賴於表示的有限維。 尤其是，不存在$ \ mathrm {SO}（1,3）\ cong \ mathrm {SU}（2）\ times \ mathrm {SU}（2）$這樣的同構您將多久閱讀一次物理書籍中的類似主張。有關此問題的更多信息，請參見 Qmechanic的答案。

事實證明，對單一表示進行分類並不是一件容易的事。完整的分類稱為維格納分類，事實證明，要構造不可約的unit表示，有必要查看與粒子動量相對應的小群-洛倫茲群的子群，使粒子的動量不變。對於大質量粒子，這是$ \ mathrm {SO}（3）$，事實證明我們也可以用我們熟悉的自旋$ s $標記單一表示。

但是對於無質量粒子，動量$（p，-p，0,0）$在$ \ mathrm {SO}（3）$下不是不變的，而是在稱為$ \ mathrm {ISO}（ 2）$或$ \ mathrm {SE}（2）$，實際上是帶有翻譯的$ \ mathrm {SO}（2）$。作為\\\ mathrm {SO}（2）$作為阿貝爾語言，它僅具有一維不可約表示，由單個數字$ h $標記，從物理上講，這是螺旋度的特徵值。 $ \ mathrm {ISO}（2）$還有更多一般情況，稱為連續自旋表示（CSR），但到目前為止，它們在物理上並不相關。

現在，此單個數字$ h $在奇偶校驗下翻轉其符號，因此對於與非零自旋的經典字段相關聯的粒子，我們必須同時使用$ h $和$ -h $表示形式。就是這樣-螺旋度$ h $的無質量粒子在其狀態空間上具有$ h \ oplus -h $表示，而不是$ \ mathrm {SO}（3）$的自旋表示。對實際自旋算子的評估表明，我們經典的自旋算子與數字$ h $相符。

因此，我們無需特別談論光子或電磁場的任何事情，我們知道非零自旋的無質量粒子具有兩個自由度。這是完全通用的，並且是所有無質量矢量玻色子都是規範玻色子的論點的核心：

我們知道，通用向量字段具有三個d.o.f。 -在Lorentz變換下相互轉換的獨立場分量，因此，彼此轉換的三組獨立的創建和an滅算符集，因此我們期望三種不同的粒子狀態。

但是兩個d.o.f.沒有質量的spin-1粒子與此不匹配-因此d.o.f.無質量的矢量場的值必須是“偽造的”。字段d.o.f.s的“偽造”方式是該字段是一個標準字段，並且存在1d.o.f.f。可以自由選擇量規。規範理論的量化的故事-即使在電磁的阿貝爾案例中-也是很微妙的，您不應該盲目地接受這樣的論點，即規範場的兩種經典極化-通過規範對稱性消除了縱向極化。量子理論中不同類型的粒子狀態：態的解耦會與沃德的身份完全天生地聯繫在一起，而這些態的耦合本質上並不是與先驗先驗的。

因此，成為規矩玻色子和不具有$ S_z = 0 $以及無質量的屬性都是相互關聯的：成為其中之一將立即迫使其他兩個。在這個答案中，我認為“無質量”是基本屬性，因為這表明“沒有$ S_z = 0 $”，而沒有假設磁場有任何更具體的信息，尤其是沒有先驗地限制磁場或電磁的情況。 >

我無法改善KDN的答案，但是考慮到托德的評論，這是試圖用外行的術語重新表述KDN的答案。

如果旋轉，系統僅處於繞軸旋轉的本徵態。關於軸不會改變系統。以$ z $作為行進方向，然後對於旋轉1系統，$ S_z $ = 0狀態將相對於圍繞垂直於行進方向的軸的旋轉對稱。但這僅在動量為零（即在其餘幀中）的情況下才是這種情況。如果系統的動量非零，則任何旋轉都會改變動量的方向，因此不會使系統保持不變。

對於大的粒子，我們總能找到一個靜止的框架，但對於無質量的粒子沒有靜止框架，因此除了沿著行進方向之外，無法找到繞任何軸的自旋本徵函數。這適用於所有無質量的顆粒，例如引力子也只有兩個自旋態。

KDN和John Rennie的答案是正確的-我將嘗試說明其工作原理：

無質量旋轉1字段的分量滿足$$ \ Box ^ 2 A _ {\ mu }（x）= 0 $$傳統上，我們對動量變量$$ A ^ {\ mu}（x）= \ int {\ frac {1} {\ sqrt {p ^ 0}} A ^ {\ mu }（{\ bf {p}}）e ^ {-ip.x}} d ^ 3 {\ bf {p}} + \ textrm {cc} $$如果粒子沿z方向移動，則其動量是$$ p ^ {\ mu} =（p ^ 0，0，0，p ^ 3）$$和Lorenz條件$ \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0 $空間變量看起來像$$ p _ {\ mu} A ^ {\ mu}（{\ bf {p}}）= 0 =現在變為$$ p ^ 0A ^ {0}（{\ bf {p}}） -p ^ 3A ^ {0}（{\ bf {p}}）= 0 $$，因此我們看到$$ A ^ {0}（{\ bf {p}}）= A ^ {3}（{ \ bf {p}}）$$所以我們可以用極化矢量$$ A ^ {\ mu}（{\ bf {p}來表示$ A ^ {\ mu}（{\ bf {p}}）$ }）= \ sum \ limits _ {\ lambda} a _ {\ lambda}（{\ bf {p}}）\ epsilon ^ {\ mu} _ {\ lambda} $$其中三個極化矢量看起來像$$ \ epsilon ^ {\ mu} _ {1} =（0，1，0，0）$$ $$ \ epsilon ^ {\ mu} _2 =（0，0，1，0）$$ $$ \ epsilon ^ {\ mu} _ {3} =（1、0、0、1） $$如果現在考慮僅具有第三極化的波的特殊情況，則$$ $$ A ^ {\ mu}（x）= \ int {\ frac {1} {\ sqrt {p ^ 0}} a_ {3} （{\ bf {p}}）\ epsilon_3 ^ {\ mu} e ^ {-ip.x}} d ^ 3 {\ bf {p}} + \ textrm {cc} $$，您現在就可以計算出$ { \ bf {E}} $和$ {\ bf {B}} $字段，則$ \ epsilon_3 ^ {\ mu} $的特殊形式可確保您得到零。因此，傳播方向上的極化對電場沒有任何貢獻。

不存在 $ S_z = 0 $ span>自旋投影與光子的無質量有關。因為光子是無質量的，所以它以光速傳播並且沒有靜止幀時間演化。這消除了大玻色子會出現的允許極化狀態之一。解決自旋運算符S的特徵值問題，得出 $ S_z = \ pm \ hbar，0 $ span>的特徵值，其中歸一化的特徵向量在 $（x，y，z）$ span>笛卡爾符號，對應於特徵向量 $ \ frac {1} {\ sqrt {2}}（1，i ，0）$ span>（用於 $ + \ hbar $ span>）， $ \ frac {1} {\ sqrt {2}}（1，-i，0）$ span>（對於 $-\ hbar $ span>）和（0,0,1）（對於0 ）。前兩個特徵向量分別代表傳播的左旋和右旋圓偏振光子。第三個本徵矢量表示一個非傳播場。不傳播的光子無質量，根本沒有能量。

$ S_z = 0 $ span>個虛擬光子。

在量子場論中，一個粒子狀態被定義為龐加萊基團的不可約unit表示的狀態。如果這是不正確的，那麼將存在狀態可歸約的狀態，這些狀態將不會通過龐加萊變換進行關聯。這些狀態是完全不同的粒子。

卡西米爾人

如果我們有一個不可約的組表示，那麼Schur的引理說，一個與所有生成器通勤的運算符，一個Casimir運算符，必須是該身份的倍數。然後將此運算符應用於表示形式的任何狀態都將給出相同的特徵值（有時也稱為Casimir）。我們使用不同表示的特徵值來標記它們。當我們使用Casimir $ J ^ 2 $並且它們的特徵值$ j $標記角動量代數的不可約表示時，這是我們在量子力學中所做的事情。

龐加萊小組有兩個卡西米爾算子，$ P_ \ mu P ^ \ mu $和$ W_ \ mu W ^ \ mu $，其中$ P ^ \ mu $是動量產生器， $$ W ^ \ mu =-\ frac {1} {2} \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ sigma \ rho} J _ {\ nu \ sigma} P_ \ rho，$$ 是Pauli-Lubanski向量。 $ J ^ {\ mu \ nu} $是Lorentz Group生成器。因此，我們可以假設我們有兩個標籤來表示龐加萊小組的不可約表示。

我們將一個粒子狀態寫為 $$ | p，\ sigma \ rangle，$$ 其中$ p $是四個動量，而$ \ sigma $是要確定的另一個標籤。 $ P_ \ mu P ^ \ mu $的特徵值是$ m ^ 2 $，即粒子的平方質量。這產生了一個無窮維表示，其狀態由四個動量$ p $標記。因此，我們剩下的是尋找同質洛倫茲群的不可約表示。但是，我們必須分別考慮大規模和非大規模案例。

小團體

讓我們首先獲取一個特定的四個動量$ k $。我們寫一個通用的洛倫茲群變換為 $$ \ Lambda = L（\ Lambda p）W（\ Lambda，p）L ^ {-1}（p），$$ 其中$ L（p）$是與$ k $和$ p $相關的提升， $$ L（p）k = p，$$ $$ W（\ Lambda，p）\ equiv L ^ {-1}（\ Lambda p）\ Lambda L（p），$$ 是所謂的維格納旋轉，而$ L ^ {-1} $表示逆變換。這些元素構成了所謂的“小團體”，剩下的框架動量$ k $不變， $$ W（\ Lambda，p）k = k。$$ 在狀態$ | p，\ sigma \ rangle $上與$ \ Lambda $一起運行， $$ \ Lambda | p，\ sigma \ rangle = L（\ Lambda p）W（\ Lambda，p）| k，\ sigma \ rangle，$$ 並註意到結果狀態必須具有四個動量$ \ Lambda p $並處於帶有未知標籤$ \ sigma $的狀態的線性組合中，我們得出的結論是$ W（\ Lambda，p）$作用於未知標籤$ \ sigma $。因此，了解Little Group的不可約表示是我們需要知道Poincare Group的不可約表示的。

巨大粒子

在這種情況下，我們可以轉到其餘幀，$ p ^ \ mu =（m，0,0,0）\ equiv k ^ \ mu $。我們看到離開$ k ^ \ mu =（m，0,0,0）$的Little Group可以是三個維度中的旋轉組，即$ SO（3）$甚至是更一般的$ SU（2）$這是$ SO（3）$的雙重保護。對於後一種情況，我們知道（標準量子力學）其不可約表示由自旋$ j = 0,1 / 2,1,3 / 2，... $標記，並且給定自旋的狀態總數為$ 2j + 1 $。

無質量粒子

沒有休息框，因此我們選擇$ P ^ \ mu =（k，0,0，k）$。留下$ k $不變量的Little Group是二維$ ISO（2）$的歐幾里得組，它由$ x ^ 1x ^ 2 $平面中的兩個平移和旋轉組成。這兩個轉換生成器會產生另一個連續的eingenvalue $ \ theta $，但這是實驗事實，沒有粒子具有$ \ theta \ neq 0 $。因此，我們只需要考慮平面旋轉。這些旋轉（繞$ x ^ 3 $軸）形成了Abelian組$ SO（2）$，其元素為$ e ^ {i \ phi \ vec J \ cdot \ vec e_3} $。該組的每個表示形式僅具有一個state，它們用整數標記 $$ h \ equiv \ vec J \ cdot \ vec e_3，$$ 我們將其稱為螺旋度。原則上，無質量粒子具有一個可能的螺旋度$ h $值，但從其定義來看，螺旋度是偽標量。對於通過奇偶性守恆相互作用進行相互作用的無質量粒子，我們必須指定兩種表示形式$ h $和$ -h $來表示粒子。這就是光子有旋度$ + 1 $和$ -1 $而引力子有旋度$ + 2 $和$ -2 $的原因。

在 free 電磁場$ A ^ {\ mu} $上應用協變量化方案，可以顯示由動量$ k $和四個可能極化之一描述的單光子狀態的存在。狀態。這四個極化狀態對應於自旋-1,0,0，+ 1的四個可能值。它們分別對應於橫向（2），縱向（1）和標量光子（1）。

但是，這是通過假設四個狀態真正獨立而沒有的時候獲得的。通過施加洛倫茲條件（或其他等效的古普塔·布魯勒條件），可以得出縱向和標量光子對於每個動量值都是線性相關的

$$ [a_3（k）-a_0（k）] | \ Psi \ rangle = 0 $$

此處，$ a_0 $和$ a_3 $分別是標量和縱向光子的破壞算子。容易證明上述組合意味著縱向光子和標量光子對場可觀觀測沒有貢獻。因此，電磁場能量的期望值僅涉及橫向光子

$$ \ langle \ Psi |。 H | \ Psi \ rangle = \ langle \ Psi | \ sum_k \ sum_ {r = 1} ^ 2 \ hbar \ omega_k a_r ^ \ dagger（k）a_r（k）] | \ Psi \ rangle $$

因此，只有橫向光子可以

但是，標量和縱向光子在存在電荷的情況下起著重要的作用。在我看來，理解原因的最簡單直接的方法是使用光子傳播器$ D ^ {\ mu \ nu}（k）$。同樣，這取決於四個極化狀態。橫向光子貢獻$ D_T ^ {\ mu \ nu}（k）$的解釋是直接的，而縱向和標量的貢獻不能用單獨的物理解釋。但是，它們可以重新組合為線性組合$ D_C ^ {\ mu \ nu}（k）$和$ D_R ^ {\ mu \ nu}（k）$，可以進行簡單的物理解釋

$ $ D ^ {\ mu \ nu}（k）= D_T ^ {\ mu \ nu}（k）+ D_C ^ {\ mu \ nu}（k）+ D_R ^ {\ mu \ nu}（k）$$

第一個術語是通常的輻射貢獻，涉及橫向光子。第二項是通常的庫侖項，涉及標量和縱向光子的混合。剩餘的項，也涉及標量和縱向光子的混合，是不可觀察的（可以證明其對散射的貢獻為零）。

請注意，儘管庫侖相互作用是作為標量和交換的交換而出現的。縱向光子，那些光子是不可觀察的。它們不會出現在散射過程的初始和最終狀態（只有橫向光子會出現），而是處於中間狀態的虛擬粒子。

根據量子電動力學，得到最準確的驗證 在物理學理論中，光子是單粒子的激發 自由量子電磁場。更正式地說，這是一種狀態 作為光子本徵態的自由電磁場 特徵值1的數字運算符。

光子的單粒子希爾伯特空間帶有一個擴展的龐加萊基團的不可約的無質量自旋1表示。在無質量情況下，矢量表示（在大規模情況下是不可約的spin 1表示）是可約化的，並且在縱向模式上分解為不可約的標量表示，而在橫向模式上則分解為不可約的表示；後者是光子表示。

在動量空間中，縱向模式的矢量電勢$ A（p）$平行於3動量$ p $，而橫向模式的矢量電勢$ A（p）$正交於$ p $（通常是分裂的）分為兩個線性或圓極化模式）。在不可約表示中缺少縱向模式，這說明了在$ z $方向上傳播的光子缺乏$ S_z = 0 $狀態（即，動量平行於$（0,0,1）^ T $）。 / p>

最普通的單光子狀態具有以下形式 $ | A \ rangle = \ int \ frac {dp ^ 3} {2p_0} A（p）| p \ rangle $， 其中$ | p \ rangle $是具有確定的3動量$ p $的單粒子狀態，$ p_0 = | p | $是相應的光子能量除以$ c $，光子幅度$ A（p）$是與$ p $正交的極化3向量。因此，一般的光子是具有任意偏振，頻率和方向的單色波的疊加。

光子振幅$ A（p）$可以看作是動量空間中的光子波函數。由於光子不可定位（儘管它們可以近似定位），所以坐標空間中沒有光子波函數，概率解釋為定位在某個位置。

$ A（p）$的傅立葉變換是所謂的分析信號 $ A ^ {（+）}（x）$。通過添加其複共軛，可以得到一個真實的3矢量勢$ A（x）$。就此而言，零質量和橫向條件共同轉化為以矢量勢形式書寫的自由麥克斯韋方程。通過添加消失的0分量並允許量規轉換，將3矢量勢擴展為4矢量勢，將條件帶入Lorentz量規中自由Maxwell方程的協變4維形式， $$ \ nabla \ cdot \ nabla A（x）= 0，~~~~ \ nabla \ cdot A（x）= 0。$$ 特別是單個光子具有與經典真空輻射場完全相同的自由度。

[7月6日添加]請注意，光子僅通過守恆電荷電流$ j（x）$通過物質耦合。電荷守恆意味著$ \ partial \ cdot j（x）= 0 $。因此，從某種意義上講，積分意味著，在此事-光子相互作用$ \ int dx〜j（x）\ cdot A（x）$中，$ A（x）$的縱向部分是無關緊要的，因為當一個將帶有標量$ V $的縱向項$ \部分V（x）$加到$ A（x）$中。這也表明，無質量矢量勢和規範不變性是相輔相成的。還要注意，電磁場的庫侖部分沒有用物理光子表示。 （可以用虛擬光子來觀察；這些光子不構成龐加萊族的因果關係，而是具有所有可能的4動量，包括速激子和所有可能的自旋1狀態。）

名稱“縱向”和“標量”光子已經是錯誤的，並且不能表示縱向光子。有兩種類型的縱向電“標量”光子（實際上，電場分量是縱向的），如果我們“施加”庫侖條件而不是不正確的洛倫茲條件，它們不會互相抵消。“強加”規範條件就像講半真話或完整謊言，這屬於聯合國物理學而不是物理學，因為人們描述了某些理論概念（縱向真空波）本質上不存在。這樣的陳述不能通過實驗來證明（不能證明某事不存在），並且通過實驗來證明概念是物理學，通過理論來證明否定陳述是UNphysics。

請記住，“施加測量條件”純粹是理論上的，沒有實驗依據。