在非相對論性質量管理中，時間能量不確定性原理中的$ \ Delta E $是同等準備好的系統$ n $的能量測量集的極限標準偏差，因為$ n $達到無窮大。既然$ t $甚至都不是可觀測的，那麼$ \ Delta t $是什麼意思？
給出一個具有哈密頓量 $ H $ span>的量子系統。假設系統佔據由漢密爾頓進化確定的純狀態 $ | \ psi（t）\ rangle $ span>。對於任何可觀察的 $ \ Omega $ span>，我們使用速記 $$ \ langle \ Omega \ rangle = \ langle \ psi（t ）| \ Omega | \ psi（t）\ rangle。 $$ span>一個可以證明這一點（請參閱Griffiths QM中的等式3.72） $$ \ sigma_H \ sigma_ \ Omega \ geq \ frac {\ hbar} {2} \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ right | $$ span>其中， $ \ sigma_H $ span>和 $ \ sigma_ \ Omega $ span>是標準偏差 $$ \ sigma_H ^ 2 = \ langle H ^ 2 \ rangle- \ langle H \ rangle ^ 2， \ qquad \ sigma_ \ Omega ^ 2 = \ langle \ Omega ^ 2 \ rangle- \ langle \ Omega \ rangle ^ 2 $$ span>和尖括號表示對 $ |的期望\ psi（t）\ rangle $ span>。因此，如果我們定義 $$ \ Delta E = \ sigma_H，\ qquad \ Delta t = \ frac {\ sigma_ \ Omega} {| d \ langle \ Omega \ rangle / dt |} $$ span>然後我們獲得所需的不確定性關係 $$ \ Delta E \ Delta t \ geq \ frac {\ hbar} {2} $$ span>仍然需要解釋數量 $ \ Delta t $ span>。它告訴您在系統處於純狀態的情況下，可觀察值的期望值更改標準偏差所需的大概時間。為此，請注意，如果 $ \ Delta t $ span>很小，那麼在 $ \ Delta t $ span>，我們有 $$ | \ Delta \ langle \ Omega \ rangle | = \ left | \ int_t ^ {t + \ Delta t} \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \，dt \ right | \ approx \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ Delta t \ right | = \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ right | \ Delta t = \ sigma_ \ Omega $$ span>
（考慮）時間-能量不確定性關係（以及可以構建的其他時間-“可觀察”不確定性關係）與規範不確定性關係具有相同的含義>。由時間參數不是並且不是一個可觀測值的規範動力學變量/可觀測值（在哈密爾頓意義上），例如位置和動量，構造的不確定性關係。
。實際上，時間能量不確定性有多種方法和解釋。例如：
狀態的能量分散（$ \ Delta E $）和狀態本身的壽命（$ \ Delta t $或$ \ tau_s $）。
p>在此期間可能發生的能量交換（$ \ Delta E $）和時間範圍（$ \ Delta t $）。
準確度所需的能量測量（$ \ Delta E $）和時間（$ \ Delta t $）（儘管對此存在嚴格爭議，請參見下文）
。上述
的其他類似或專門的公式在L. Mandelstam和I. Tamm中，“非相對論量子力學中能量和時間之間的不確定性關係”，《物理學》（蘇聯） ）1945年，他們展示瞭如何通過
$$ \ Delta t = \ tau_A = \ frac {\ Delta A} {d \ left<A \ right> / dt} $$
時間和時間能量的不確定性在系統的（量子/混合）統計力學中被大量使用，因為它與狀態和轉換的半衰期和生命週期相關（必須找到一些參考）
對時間-能量不確定性關係的各種表述的分析可以發現：
and
摘要：
精力和時間不是規範的 不確定性關係，因為它不是由規範的哈密頓變量基於/產生的，而是表示狀態的離散度和壽命。笛卡爾時空$ x，t $（用作參數）和規範位置和動量（$ q，p $）是這些參數的函數（但是在某些情況下，例如$ q = x $）
時間能量的不確定關係與非通勤運營商的不確定關係具有不同的插值和導數。嘗試使用 John Baez進行解釋，但是粗略地講$ \ delta t $衡量的是某些運算符的期望值發生明顯變化所花費的時間。
除了Joshphysics的準確答案外，我們還要提及另一種解釋（我認為Ben Crowell在他對同一答案的評論中指的是這種解釋）。
有一個基於時間的攝動理論的公式，給出了從初始狀態$ \ lvert i \ rangle $到最終狀態$ \ lvert f \ rangle $的能量躍遷具有能量差$ \ hbar \ omega_ {if} $的概率。該過渡應該由諧波擾動引起：$$ V = \ cal Ve ^ {i \ omega t} + \ cal V ^ \ dagger e ^ {-i \ omega t}，$$，公式為，用於吸收，即過渡到更高的能級：$$ P_ {i \ to f}（t; \ omega）= \ dfrac {\ lvert \ cal V _ {fi} \ rvert ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ dfrac {\ sin ^ 2（\ frac {\ omega _ {fi}-\ omega} {2} t）} {（\ frac {\ omega _ {fi}-\ omega} {2}）^ 2}。$ $
作為固定$ \ omega $的$ t $的函數，小$ t $的概率呈二次方增長，在$ t $達到最大值的情況下，給出如下：$$ \ frac {\ lvert \ omega _ {fi}-\ omega \ rvert} {2} t = \ frac {\ pi} {2}，$$即：$$ t \ Delta E = \ frac {h} {2}，$$ where $$ \ Delta E = \ lvert E_f -E_i-\ hbar \ omega \ rvert。$$
假設我試圖引起一個原子的兩個能級$ i，f $之間的躍遷發射頻率為\\ omega $的輻射。那麼$ \ Delta t $是交互作用所需長度的順序，以具有一致的過渡概率（請注意，上面的$ P_ {i \ to f} $公式在$ t = t _ {\ text時有意義{max}} $僅在$ | V _ {fi} | \ ll \ Delta E $）時。
我們可以想像固定交互時間$ \ Delta而不是固定$ \ omega $ t $。再次，以上$ P_ {i \ to f} $的公式表示，如果$ \ Delta E \ ll \ frac {h} {\ Delta t} $，我們有一致的概率發生過渡。因此，如果我們希望通過改變$ \ omega $來確定足夠精確的$ E_f -E_i $，並查看過渡是否發生，那麼我們必須有一個較大的$ \ Delta t $。
在這裡，我正在考慮兩個不同級別之間的過渡，並且我假設頻譜在物理意義上是離散的，也就是說，每隔一個級別，$ | E_f'-E_i-（E_f-E_i）| $$ f'$比$ \ hbar \ omega $的實驗不確定性大得多。如果不是這種情況，我們應該考慮過渡到單個最終狀態而不是單個最終狀態。做到這一點的正確方法是費米的黃金法則，在每一本量子力學的好書中都對此進行了討論（參見例如 Sakurai或 Griffiths，也可以從上述推導得出）公式）。
到目前為止，已經給出了很好的答案。讓我們從不同的角度來看待它：
想一想兩個電子相互作用非常簡單。這種相互作用通過能量交換進行，我們可以說這是$ \ Delta E $。必須在兩個電子之間交換該能量的時間$ \ Delta T $有一個限制，並且由Heisenberg的不確定性原理決定。交換的能量越高，交換能量所需的時間越短。這是天生的照顧，電子只是做他們必須要做的事情；他們“遵循規則”交換能量。
類似地，自由光子攜帶的能量為$ E = hf $。如果您以$ E \ times T = h $的形式寫它，這也具有海森堡不確定性原理的含義，因為$ f = 1 / T $。光子將在不大於或小於其概率波週期的時間內由光子攜帶一個波長的能量，即\\ lambda = c / f $。正如其他受訪者所提到的，當我們在測量過程中與自然互動時，這也適用。大自然非常熱衷於優化自己的行動，她並不浪費。一個好問題是：為什麼$ h $是如此之小？是什麼決定了它的價值？除了實驗測量之外，我不知道會產生這個數字的任何設施。
含義與坐標動量不確定性大致相同。除了joshphysics撰寫的內容外，我還要強調一點，與時間相關的Schroedinger方程的平穩解是$ \ vert \ psi \ rangle \ sim e ^ {i \ frac {E} {\ hbar} t} $。如果要測量能量，則應以某種方式及時跟踪波函數的演變。要絕對地測量能量，您應該在無限時間內測量它。如果測量時間有限，則能量不確定。
從技術上講，它更複雜，因為通常$ \ Delta t $不是測量時間，而是您要測量的某些過程結果的時間。但是，主要思想就是這麼簡單。
這是關係 $ \ Delta t \，\ Delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ span>的另一種解釋。
您有一個用拉格朗日 $ L = \ dot {q} \，p-H $ span>描述的經典系統，其中 $ H $ span>是哈密爾頓，應該與時間無關。系統的操作是 \ begin {equation} \ tag {1} S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L \，dt = \ int_ {q_1} ^ {q_2} p \，dq-E \，\ Delta t = S_p + S_E。\ end {equation} span>現在考慮經典路徑的任意變化。然後將動作更改為以下數量（我現在確定第一部分該怎麼做，它應該給出其他海森堡關係： $ \ Delta q \; \ Delta p \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ span>）： \ begin {equation} \ tag {2} \ delta S_E =-\：\ delta E \ ，\ Delta t。\ end {equation} span> 假定所有變化作用的變化量小於 $ \ frac {\ hbar} {2} $ span>不可觀察 。這類似於統計力學中的相空間的最小像元，為此 $ \ Delta q _ {\ text {min}} \，\ Delta p _ {\ text {min}} \ sim h \ equiv 2 \ pi \ hbar $ span>。因此，對於可觀察的過程，我們有 $ | \，\ delta S_E |。 \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ span>，表示關係 \ begin {equation} \ tag {3} \ Delta t \; \ delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2}。\ end {equation} span> 在這裡， $ \ Delta t \ equiv t_2-t_1 $ span>只是定義上述動作（1）邊界的時間間隔。這是經典的“普通”時間間隔。 $ \ delta E $ span>是在該時間間隔內相對於經典值可獲得的能量變化量。如果 $ \ Delta t $ span>大，則 $ \ delta E $ span>必須低（只有很小的變化）
此“推導”非常粗糙，當然也不嚴格。
除了@Michael的鏈接中提到的內容外，最好的思考方法之一如下：
您花費在測量實驗上的時間越多（因此標準偏差會變小），更精確地說，您將測量該系統的能量。
P.S這種解釋廣泛用於俄語教科書中。