我得到了矢量加法&減法的物理意義。但是我不明白點&叉積是什麼意思？

也許您會發現點和叉積的幾何解釋更直觀：

點A和B的乘積是A在B上的投影的長度乘以B的長度（或者相反，它是可交換的）。

叉積是具有兩側A和B的平行四邊形的區域。叉積的方向與包含此平行四邊形的平面正交。

為什麼不能對向量進行除法？

如何定義向量的逆，使得$ \ mathbf {v} \ times \ mathbf {v} ^ {-1} = \ mathbf {1} $？什麼是“身份向量” $ \ mathbf {1} $？

實際上，答案是有時您可以。特別是在二維中，您可以在向量和復數之間建立對應關係，其中復數的實部和虛部給出向量的（x，y）坐標。

叉積僅存在於3D中。

除法也定義在某些高維空間中（例如四元數），但前提是您放棄了可交換性和/或關聯性。

以下是點和叉積的幾何含義的說明，摘自 wikipedia文章點產品和關於交叉產品的維基百科文章：

最好的方法是忽略基本物理學書籍中的垃圾作者，並使用張量對其進行定義。張量是在旋轉下轉換為矢量的乘積的對象。等效地，它可以由（向量集）的線性函數和（向量集的線性函數）定義，所有這些都在Wikipedia上進行了描述。

正好有兩個張量在旋轉下是不變的：

$ \ delta_ {ij} $ and $ \ epsilon_ {ijk} $

所有其他在旋轉下不變的張量是它們的乘積和張量跡線。這些張量定義了“點積”和“叉積”，它們都不是乘積的好概念：

$ V \ cdot U = V ^ i U ^ j \ delta_ {ij} $

和叉積

$（V \ times U）_k = V ^ i U ^ j \ epsilon_ {ijk} $

嘗試將叉積視為“乘積”，因為它不具有關聯性，因此$（A \ timesB）\ times C $不等於$ A \ times（B \ times C）$。將點積視為通常意義上的乘積也沒有用，因為它需要將向量對成數字，並且$（A \ cdot B）C $不等於$ A（B \ cdot C ）$，因為第一個點指向C方向，第二個點指向A方向。

最好的方法是習慣不變張量。它們可以推廣到任意維度，而且更加清晰，不需要右手定則（索引順序約定可以解決此問題）。除了費因曼（Feynman）1981年的論文“ Yang-Mills理論在2 + 1維度上的定性行為”外，您不會找到使用叉積的任何物理學論文，即使您這樣做，翻譯也很容易。

您可以用西克拉德（“幾何”）代數對向量進行除法。

向量的幾何積是相關的：

$$ abc =（ ab）c = a（bc）$$

並且向量與自身的幾何積是標量。

$$ aa = | a | ^ 2 $$

這些都是定義向量的唯一乘積所需的所有屬性。可以導出所有其他屬性。但是，我將它們歸納起來：對於兩個向量，幾何乘積將點乘積和叉乘積結合起來。

$$ ab = a \ cdot b + a \ wedge b $$

我們使用楔形而不是十字形，因為第二個項不是。我們稱其為 bivector ，它代表一個定向平面。引入一個基礎來了解這一點可能是有益的。 $ e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1 $和$ e_1 e_2 = -e_2 e_1 $捕獲這些正交法向量的幾何乘積屬性。則幾何乘積為

$$ ab =（a ^ 1 e_1 + a ^ 2 e_2）（b ^ 1 e_1 + b ^ 2 e_2）=（a ^ 1 b ^ 1 + a ^ 2 b ^ 2）+（a ^ 1 b ^ 2-a ^ 2 b ^ 1）e_1 e_2 $$

如我所說，兩個向量的幾何積在歐幾里得空間中是可逆的。從關聯屬性可以明顯看出：$ a b b ^ {-1} = a（b b ^ {-1}）= a $。 $ bb ^ {-1} = 1 $表示

$$ b ^ {-1} = b / | b | ^ 2 $$

看看數量$ a =（ab）b ^ {-1} $，使用分組將其分解為另一種方式。

$$ a =（ab）b ^ {-1} =（a \ cdot b）b ^ {-1} +（a \ wedge b）\ cdot b ^ {-1} $$

第一個項的方向是$ b $，第二個項的正交於$ b $。這會將$ a $分解為$ a_ \ parallel $和$ a_ \ perp $。

其他人所說的是對的，您不能僅將向量叉積定義為是可逆的。這種分解應該說服您-如果沒有點積和叉積的信息，就無法完全重構向量。就像已經說過的那樣，該產品是非可交換的。

如果要定義向量的除法，則必須定義要定義除法的乘積字段：對於普通數，我認為$ \ frac {x} {y } $是乘以$ y $得出$ x $的數字。因此，$ \ frac {\ vec x} {\ vec y} $必須是向量，當“乘以” $ \ vec y $時得到$ \ vec x $。如果我們的乘法字段是點積，那麼我們已經麻煩了，因為兩個向量的點積是標量，因此上面的定義要求同時使用$ \ frac {\ vec x} {\ vec y} $

類似地，如果我們的操作是叉積，那麼我們知道，對於任何矢量$ \ vec x $和$ \ vec y $以及任何標量$ c $，我們有$ {\ vec x} \ times {\ vec y} = {\ vec x} \ times \ left（{\ vec y} + c {\ vec x} \ right）$，因此這意味著滿足屬性“ n個乘以$ \ vec y $的乘積，得到$ \ vec x $”的無限數量的向量。因此，對叉積的劃分不是唯一的。

除了nibot的答案：劃分事物正在發現事物的一部分。對於矢量，其部分具有相同的方向，但長度較小。因此，將向量除以數字而不是向量是很自然的。

那些點和叉乘積不是簡單的乘積，因為它們不僅取決於長度而且取決於方向。它們被稱為兩個向量與數字或向量之間的對應關係。

另一個更直觀的問題（數學家：請別看）是將點（AB =ABcosθ）和叉形（AxB =ABsinθ）視為簡單的方式來測量向量的平行度與垂直度向量的（正交）意義，

• 平行單位向量的點積UU產生數字UU cos 0 = 1（對於任意向量長度的向量，其值為A * B的數量），而正交（垂直）向量始終為零，因為cos 90°= 0

• 相反，平行單位矢量的叉積為0（正弦0°= 0），而正交單位矢量的叉積為1（任意長度為AxB）；但是在這種情況下，結果被映射到 vector ，它必須垂直於輸入矢量A和B定義的平面（沒有明顯的方法可以在由A和B定義的平面）。並且還要認識到叉積由此獲得手感的感覺是AxB = -BxA，這很有用（下面的示例）。

當然，正弦和余弦的使用決定了單位矢量的度量範圍從0到1。想像一下，當您想到每種類型的產品的A和B向量彼此朝著彼此遠離時，產品的價值會發生變化。

就的物理意義而言（對於而言）（並忽略了通過Clifford代數等獲得的更深入的見解），這些“產品”在許多情況下都是有用的，以至於常常將其物理意義視為理所當然，而不是被認為是理所當然的。強調（也許這是您的問題的基礎）。

對於點積：例如在力學中，冪的標量值是力和速度矢量的點積（如上所述，如果矢量平行，則力完全貢獻了功率；如果垂直於運動方向，則力沒有貢獻隨功率的變化，是cos函數隨力矢量在速度矢量上的投影長度的變化而變化； 因此根本不是任意定義的。）

對於叉積：例如角動量，L = rxp（所有向量），因此由叉積產生的向量與所涉及的旋轉軸對齊（與半徑和動量向量定義的平面垂直）似乎非常直觀（本身通常彼此垂直，因此rp * sin90°= rp的大小。而且，如果旋轉方向發生變化，則動量矢量的符號會反轉，因此叉積矢量L也會更改符號（因此將叉積映射為矢量很有用）。

請注意，您還可以計算由AB *sinθ生成的 number （而不是將其映射到垂直向量中）。交叉乘積中的向量A和B定義的只是平行四邊形的面積。

順便說一句，如果需要的話，沒有什麼能阻止您將點積映射到垂直矢量上的-但是在物理上這樣做可能通常沒有用。

關於部門劃分，這在技術上要稍微多一點，並且較早的答复可以很好地解決。在 https://www.quora.com/Can-we-divide-a-vector-by-a-vector-and-why

我希望這對不熟練的成員有所幫助。

對於產品，您可以找到答案。對於除法運算，我建議您閱讀有關四元數的更多信息。用四元數來解釋向量可以實現比向量空間本身更多的到達代數。

這裡有一點數學運算。對於除法的自然定義，您至少需要除法環（一個人可能會說除法代數就足夠了，然後在我的答案中加八音）。有一個定理，唯一的有限維分割環是實數，複數和四元數。向量是三維空間中的向量空間。因此，對三維矢量的任何劃分都是“不自然的”。

問題“ $ \ vec {a} / \ vec {b} $等於什麼？”等於問“您將$ \ vec b $乘以得到$ \ vec a $會得到什麼？”-答案是一個矩陣，假設乘法之後會涉及一些收縮。等效地，您將（1，0）張量$ b ^ \ mu $與（1,1）張量$ A_ \ mu ^ \ nu $相乘並收縮以獲得（0,1）張量$ b ^ \ nu $

但是有多個矩陣，您可以將$ \ vec b $乘以得到$ \ vec a $。在二維中，您需要兩套“此映射到此”（以及映射是線性的知識）來確定線性映射是什麼。通常，在$ n $維中，您需要$ n $個這樣的向量-因此，除了劃分向量外，您還可以劃分向量集-這些被稱為矩陣。