之所以難以理解物理學家在談論“量規自由度”時的含義，是因為我見過至少有四個不等價的定義：

• 定義1：如果某些數學自由度是“冗餘的”，則數學理論具有測量自由度，因為兩個不同的數學表達式描述的是完全相同的物理系統。那麼冗餘的（或“依賴於量規”的）自由度是“非物理的”，就某種意義上講，即使原則上沒有可能的實驗可以唯一地確定其值。一個著名的例子是量子態的整體相位-完全不可測量，希爾伯特空間中的兩個矢量僅因整體相位不同而描述了完全相同的狀態。正如您所提到的，另一個例子是勢能必須微分以產生物理量的任何一種形式，例如勢能函數。 （儘管您的其他一些示例，例如溫度，也不是依賴量規的示例，因為存在明確定義的零溫度物理意義。）

  對於由具有軌距自由度的數學結構描述的物理系統，數學上定義特定物理配置的最佳方法是將軌距相關函數的等價類劃分為軌距自由度。例如，在量子力學中，物理狀態實際上不是由希爾伯特空間中的單個向量描述的，而是由等價的向量的等價類來描述的，而這些等價類的總和為標量的倍數。或更簡單地說，是通過希爾伯特空間中向量的 line 行。 （如果想花哨的話，物理狀態空間稱為“射影希爾伯特空間”，這是希爾伯特空間中的一組線，或者更確切地說是希爾伯特空間的一種版本，如果矢量是成比例的，則可以在其中識別向量我想您還可以將“物理勢能”定義為一組勢能函數，它們之間的差僅是一個加性常數，儘管在實踐中這有點過頭了。這些等價類通過構造消除了量規的自由度，因此“量規不變”。

  有時候（儘管並非總是如此），有一個簡單的數學運算可以刪除所有冗餘的自由度，同時保留所有物理的自由度。例如，在給定勢能的情況下，可以採用梯度來產生可直接測量的力場。在經典E&M的情況下，存在某些偏導數的線性組合，這些線性組合可減少直接測量$ {\ bf E} $和$ {\ bf B} $字段的可能性而不會丟失任何物理信息。但是，對於量子希爾伯特空間中的矢量，沒有簡單的導數運算可以消除相位自由度而又不會損失任何其他東西。

• 定義2：與定義1相同，但還要求冗餘自由度為 local 。這意味著存在某種依賴於時空上的任意平滑函數$ \ lambda（x）$的數學運算，其物理自由度（即物理可測量的量）保持不變。當然，典型的例子是，如果採用 any 平滑函數$ \ lambda（x）$，然後將$ \ partial_ \ mu \ lambda（x）$加到電磁四勢$ A_ \ mu（x）$保留物理量（$ {\ bf E} $和$ {\ bf B} $字段）不變。 （在場論中，“物理自由度”不變的要求被表述為要求拉格朗日密度$ \ mathcal {L} [\ varphi（x）] $不變，但是其他表述也是可能的。）定義顯然要嚴格得多-上面定義1中給出的示例不屬於該定義-並且在物理學家談論“量規自由度”的大多數時間中，這就是他們所指的定義。在這種情況下，您將擁有一個連續的無限數，而不是只有幾個冗餘/非自然的自由度（如勢能的整體常數）。 （更令人困惑的是，有些人用定義1的含義表示“整體規範對稱性”來描述諸如量子態的全局相自由度之類的東西，這顯然在定義意義上是矛盾的。 2。）

  事實證明，為了處理量子場論中的這一問題，您需要徹底改變量化方法（從技術上講，您需要“量規確定您的路徑積分”），以消除量子點的所有非物理度。自由。當人們談論此定義下的“量具不變”數量時，實際上，它們通常表示直接物理上可測量的導數，例如電磁張量$ F _ {\ mu \ nu} $，在任何量具轉換下均保持不變（“不變”） 。但是從技術上講，還有其他規格不變的數量，例如$ A_ \ mu（x）+ \ partial_ \ mu \ lambda（x）$在某個特定$ A_ \ mu（x）的所有可能$ \ lambda（x）$上的統一量子疊加。$

  請參閱 Terry Tao的博客帖子，從更數學的角度對第二種規範對稱性進行了很好的解釋。

• 定義3：如果存在某些依賴於時空的任意連續函數的操作，即使自由度發生了變化，則有時會稱拉格朗日算子具有“規範對稱性” >是可以物理測量的。

• 定義4：對於在局部晶格哈密頓量上定義的“晶格規理論”，在每個與哈密頓量交換的晶格部位上都存在一個算符。在某些情況下，此運算符對應於物理上可測量的數量。

定義3和4的情況在概念上有些微妙，因此在這裡我不再贅述-如果有人感興趣，我可以在後續問題中解決它們。

Update：我已經寫了後續答案，內容涉及在哈密頓量和拉格朗日量中是否存在可以物理測量自由度的意義。 a>。

我只在修完廣義相對論（GR），微分幾何和量子場論（QFT）之後才了解這一點。本質是只是坐標系統的變化，需要在導數中反映出來。我會解釋我的意思。

您有一個在某些對稱群下不變的理論。因此，在量子電動力學中，費米子具有拉格朗日密度（尚無光子） $$ \ mathcal L = \ bar \ psi（x）[\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu-m] \ psi（x）\，。$$ 這個$ \ bar \ psi $只是$ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $，重要的是它是複共軛的。在旋轉空間中它是四個向量的事實在此無關緊要。現在可以做的就是用$ \ alpha \ in \ mathbb R $將$ \ psi \轉換為\ exp（\ mathrm i \ alpha）\ psi $。然後$ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp（-\ mathrm i \ alpha）$，由於導數不作用於指數函數，因此拉格朗日不變，它只是一個相位因子。在那裡，您具有全局對稱性。

現在將對稱性提升為局部對稱性，為什麼不呢？現在不再是全局$ \ alpha $而是$ \ alpha（x）$。這意味著我們在時空的每個點選擇一個不同的$ \ alpha $。問題在於，當我們現在進行轉換時，人們會使用差異化的鍊和乘積規則來選擇$ \ partial_ \ mu \ alpha（x）$。起初似乎是技術上的複雜化。

還有一種更能說明問題的方式：
您採用字段$ \ psi（x）$的導數。這意味著採用差商 $$ \ partial_ \ mu \ psi（x）= \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ psi（x + \ epsilon \ vec e_ \ mu）-\ psi（x）} {\ epsilon} \， 。$$ 在進行全球轉型時，這很好用。但是通過局部變換，您基本上減去了兩個被測量不同的值。在微分幾何中，必須具有歧管不同點處的切線空間不同，因此不能僅按其分量比較向量。人們需要一種具有連接係數的連接，以提供並行傳輸。這裡是相似的。現在我們將$ \ phi $從生活在$ \ mathbb R ^ 4 $上提升為生活在捆綁$ \ mathbb R ^ 4 \ times S ^ 1 $中，因為我們有一個U（1）量規組。因此，我們需要某種連接，以便將轉換後的$ \ phi $從$ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $傳輸到$ x $。這是必須引入某種聯繫的地方 $$ \ partial_ \ mu \ to \ mathrm D_ \ mu：= \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \，。$$

如果將其插入Lagrange密度以使其成為 $$ \ mathcal L = \ bar \ psi（x）[\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu-m] \ psi（x）$$ 然後選擇$ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $，您會看到即使在局部變換下，拉格朗日密度的確保持不變，因為連接係數會從乘積/鏈規則中減去不需要的項。

在廣義相對論中，您具有任意微分同構的對稱性，代價是必須將導數更改為連接， $$ \ partial \ to \ nabla：= \ partial + \ Gamma + \ cdots \，。$$

由於您提到的是數學背景的知識，因此對等價類進行回答可能會很好。

量規理論是一種物理理論，其中，在理想的測量設備上，可以用實驗測量的可觀測量是向量空間中的等價類。

電磁現像是最常見的例子。現代物理學理論總是寫成纖維束，其中基礎流形是時空的，而纖維是與時空中每個點（稱為事件）相關的切線空間。通過將名為$ A _ {\ mu} $的4個組件對象與每個時空點$ x $關聯，並需要$ A _ {\ mu}（x）$來滿足麥克斯韋方程，來描述自由空間中的E&M（不存在任何電荷）

但是，自然界中可觀察到的，同樣可測量的量是電場和磁場$ \ vec {E}（x）$和$ \ vec {B}（x）$。這些是使用此 wiki中給出的定義從$ A _ {\ mu}（x）$派生的（請查看$ F _ {\ mu \ nu}（x）$的矩陣元素）。 / p>

事實證明，對於任何二次微分函數$ f（x），轉換$ A _ {\ mu}（x）\ rightarrow A _ {\ mu}（x）+ \ partial _ {\ mu} f（x）$ $給出可觀察字段$ \ vec {E}（x）$和$ \ vec {B}（x）$的相同值。因此存在一個等價關係

$ A _ {\ mu}（x）\約A _ {\ mu}（x）+ \ partial _ {\ mu} f（x）$。

通常，規範理論是這樣的理論，其中可觀測量是向量空間中某些向量的等價類的函數。在這種情況下，我們的向量是$ A _ {\ mu}（x）$（這些向量是時空中兩個可微函數的函數空間中的向量），我們的等價關係如上所示。

關於您的最後一個問題，即像系統總能量之類的東西是否只能在任何參考系中確定為常數，才使牛頓動力學成為一個規範理論。答案是否定的，不是真的。基本上，如果您不是在談論場論，物理學家就不會將其稱為規範理論。

規範不變性只是物理系統描述中的冗餘。即我們可以在E&M中從無限多個矢量勢中進行選擇。

例如，無限數量的矢量電勢可以通過以下變換來描述電磁學

$$ A（x）\ to A_ \ mu（x）+ \ partial_ \ mu \ alpha（x）$$

選擇特定的量規（量規固定）可以比不固定量規的情況下更容易解決物理問題。

通常，人們會選擇庫侖計：$ \ nabla \ cdot A = 0 $。

應該強調的是，規範不變性不是自然的對稱性，您無法測量與之相關的任何事物。

規範不變性在量子場論中最有用，對證明可歸一化至關重要。此外，QFT中的S矩陣元素需要局部拉格朗日，因此需要量規不變性。

這些計算通常僅取決於兩個值之間的差，而不取決於具體值本身。因此，您可以自由選擇自己喜歡的零。這是量規不變性的一個例子，其含義與上面的示例相同嗎？

是的，實際上，在規範不變性的最一般定義中，這就是物理學家所說的全局規範不變。詳情請見下文。

如果我不得不為您的標題寫一個句子的答案，那就是這樣：

量規不變性是在引用映射下物理定律的明確定義，它將物理系統的配置/參數空間/坐標濃縮為一組物理等效配置的等價類。

這與例如在映射商組下的正常子組的映射下定義了好的coset產品意義相同。配置的物理與等效類成員的選擇無關。

用最客觀的話來說，規範不變性只是一個斷言，即物理系統的數學描述中存在冗餘。否則，該系統具有 symmetry （對稱性），相對於一組轉換而言是不變的。

全局度量對稱性是其中配置空間是一組物理上不同的等效類的簡單笛卡爾乘積（ ie 小纖維束）和冗餘參數，例如兩個值之間的差異。如果物理描述是拉格朗日描述，那麼這就是Noether定理最重要的地方，它標識了守恆量，每個這樣的冗餘參數一個。規範組，即對稱的即組，對所有等效類（纖維）均具有相同的影響。從靜電勢中減去恆定的勢是這樣的對稱性，對於Corvid Civilization來說是巨大的進步，因為它使烏鴉坐在高壓輸電線上，并快樂地一起拍打微風，討論他們關於量規理論的最新思想，並宣稱“再也沒有！”我們是否會擔心將22kV的全球靜電勢增加會改變我們所屬系統的物理性質。

但是，通常，當物理學家談論規範理論時，它們的意思是對稱群可以以更一般的方式起作用，而在配置空間的每個點上都有不同的群成員起作用。相應的光纖束不再瑣碎。儘管您想要一個比電動力學更簡單的示例，但我認為沒有一個。添加到電子波函數中的相位可以是坐標的任何平滑函數，並且將由萊布尼茲規則所產生的額外項精確地吸收到閉合部分中，該萊布尼茲規則應用於波函數運動方程中的導數（狄拉克，薛定er）電磁勢的一種形式。順便說一句，順便說一句，我總是喜歡可視化傅立葉空間中的EM潛力，我們可以在合理的限制下做到這一點（例如， eg 的假設是，我們僅考慮緩和的分佈） ，因為四電勢冗餘部分的空間部分就是其在波矢上的分量（ ie 被認為是3矢量），因此只有垂直於波矢的分量才是物理上重要的：它是唯一倖存於$ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $的部分。

我相信您應該從EM示例中獲取兩點：

1. 儘管實際上會帶來很多進一步的複雜性，但從概念上講，它與簡單的全局量規對稱示例僅相差很小；我們只允許對稱性在本地起作用，而不是對所有配置空間點均等起作用；

2. 從實驗上真實的電磁學中引出一個線索，我們假設這種軌距不變性可能更籠統相關，因此我們將其存在於其他物理現像中。這無非是出於預感。 實驗上，我們發現這是一件富有成果的事情。在物理學中，沒有比實驗結果更深刻的見識了。

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最後，我要提一下，當我們人工根據問題的需要聲明配置的等價類時，即使等價類成員之間存在物理差異，規範/纖維束概念也很有用。這種思維方式中最可愛的例子之一是蒙哥馬利（Montgomery）的“墜落貓的應變片理論”。我們研究等效於適當的歐幾里得等距的貓配置的等價類，以形成一個貓形狀空間，在標準處理中，貓被認為是無扭曲的兩段式機器人球窩關節變成了真正的投影平面$ \ mathbb {RP} ^ 2 $。這樣，整個配置空間就是一個纖維束，其中形狀空間$ \ mathbb {RP} ^ 2 $為基礎，組$ SO（3）$將方向定義為纖維。由於角動量守恆所隱含的平行傳輸概念所產生的連接曲率，貓可以使用自身形狀的周期性變形在保持角動量的同時翻轉。

這是我能想到的最基本的量規對稱性示例。

假設您要討論在莫比烏斯樂隊中走動的一些螞蟻。為了描述螞蟻的位置，可以方便地沿其寬度切割帶，使其變為矩形。然後，您可以通過告訴我三件事來告訴我螞蟻在哪裡：

• 她的緯度-她在矩形寬度上的位置。
• 她的經度-她在矩形長度上的位置。
• 她的方向-她是緊貼矩形的頂部還是底部。

經度的含義取決於該假想切口的位置。如果移動切口，則所有螞蟻的經度都會改變。沒有任何物理理由偏愛一種切口而不是另一種切口，因為您可以沿其長度滑動帶子而不改變其形狀或影響螞蟻的行為。換句話說，絕對經度在物理上沒有任何意義，因為該頻段具有平移對稱性。

類似地，方向的含義取決於如何將矩形的表面標記為頂部和底部。沒有任何物理理由更喜歡一個標籤而不是另一個標籤，因為您可以在不改變其形狀或影響螞蟻行為的情況下交換其兩個表面。交換是量規對稱性的一個示例。它具有一些普通對稱不具備的醒目的功能。讓我們看看其中之一。

對於情況的每種對稱性，情況的某些方面可以用多種方式描述，沒有在它們之間進行選擇的物理依據。但是，有時候選擇並堅持下去是很有用的，即使選擇實際上沒有意義。例如，在有關人們在地球表面航行的討論中，幾乎我認識的每個人都使用經過倫敦格林威治的切線來定義經度，這主要是因為一些住在那附近的人並印製了很多航海圖。

如果我們在普通的圓柱帶上進行螞蟻觀察，那麼我們可以很容易地確定方向的概念。我們將藍綠色的一側塗為“頂部”，將另一側塗為“底部”，就是這樣。在Möbius樂隊中，事情更加複雜，因為Möbius樂隊只有一側！如果嘗試將一個表面的綠松石漆成藍色，將相對的表面漆成藍色，則從色帶的一小部分開始向外移動，則綠松石和藍色區域將不可避免地發生碰撞。 （在我們前面的討論中，碰撞是沿著經度切割隱藏的。）

在具有普通對稱性（例如平移對稱性）的情況下，您無法以物理上有意義的方式在可能的描述之間進行選擇。在具有量規對稱性的情況下，您甚至可能無法以全局一致的方式在可能的描述之間進行選擇！但是，您始終可以在較小的空間區域中選擇一致的描述。這就是為什麼規範對稱通常被稱為局部對稱。

試圖對量規對稱性進行長而基本的描述，我也想提供一個簡短，複雜的描述。在我們最簡單的物理模型中，事件發生在稱為 space 或 spacetime 的光滑流形上。普通的對稱性是時空的微分態，它保留了事件的物理可能性。在更複雜的模型中，事件會隨時間在光纖束上發生。規範對稱性是纖維束的自同構，它保留了事件的物理可能性。

在我們的基本示例中，莫比烏斯樂隊扮演著太空的角色，螞蟻在樂隊的定向束中四處走動。方向束具有自同構性，可以交換帶的兩個表面。

在經典電磁學中，閔可夫斯基時空或其他洛倫茲流形扮演著時空的角色，而電磁場則是由時空上的圓束上的一個連接來表示的。在 Kaluza-Klein圖片中，帶電粒子在圓束中移動，沿直線飛行，其時空“陰影”是我們看到的螺旋路徑。圓束具有旋轉圓纖維的一族自同構體，這些幻想者稱其為\\ operatorname {U}（1）$量規對稱性。這幅畫概括了所有經典的楊米爾斯理論。

在廣義相對論的 Palatini圖片中，光滑的$ 4 $維流形扮演著時空的角色，萬有引力場由$ \ operatorname {SO}（3,1）表示。 $連接在歧管的框架束上。我懷疑您提到的線性重力的軌距對稱性是框架束的自同構。

在愛因斯坦的廣義相對論中，對稱性是時空的微分態。我將它們歸類為普通對稱性，而不是規範對稱性。正如tparker 所述，但是，並不是每個人都以相同的方式使用術語“量規對稱性”。

在$ U（1）$對稱的情況下，規範不變性的物理解釋非常有趣。規範的對稱性是獲得物質（從廣義上講-任意自旋場）和光子（呈螺旋度1的無質量粒子）的洛倫茲不變相互作用的唯一方法，其隨著$ \ frac {1} {r ^ { 2}} $距離很遠（此語句不過是庫侖定律）。簡而言之，提供EM相互作用的平方反比定律的4勢$ A _ {\ mu} $不是Lorentz協變量，並且相互作用的Lorentz不變性的表現會導致電荷局部守恆。

實際上，基於我們的時空對稱性，可以從非常籠統的考慮中證明，光子由反對稱4張量$ F _ {\ mu \ nu} $呈現，稱為EM強度tensor。它是形式上的Lorentz協變（通過使用具有張量指數的天真操縱）和構造（是表示具有螺旋度1的粒子的字段），即在矩陣$ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu}給出的Lorentz變換下$它被轉換為 $$ F _ {\ mu \ nu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ 接下來，假設我們有物質場$ \ psi $，並討論物質與光子的相互作用。獲得這種相互作用的最明顯方法是通過構造與物質場和Lorent協變對象（狄拉克矩陣，列維-西維塔連接等）的所有可能的$ F _ {\ mu \ nu} $卷積來獲得這種相互作用。假設我們從實驗中也知道，相互作用在遠距離處以$ \ frac {1} {r ^ {2}} $的形式下降。不幸的是，如果我們使用$ F _ {\ mu \ nu} $，這是不可能的。正式的原因是，顯示相互作用定律的該字段的傳播者比$ \ frac {1} {r ^ {2}} $下降得更快。這是因為$ F _ {\ mu \ nu} $的兩個索引和反對稱性。

我們可以給出一些提示，並用一個稱為4-potential的索引引入對象$ A _ {\ mu} $： $$ F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu}-\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ 現在，相互作用是通過$ A _ {\ mu} $與物質場和其他協變對象的捲積構造的。

當然，我們要求$ A _ {\ mu} $代表無質量螺旋度1粒子以及$ F _ {\ mu \ nu} $。不幸的是，這一要求導致了這樣的說法，即4位勢不是Lorentz協變量（儘管從形式上來說當然是）。精確地，在Lorentz變換字段下，假定表示螺旋度為1的無質量粒子，則更改$ A _ {\ mu} $ $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $$ 我們看到它不是洛倫茲協變量。 $ A _ {\ mu} $的免費拉格朗日算子 $$ L =-\ frac {1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}， $$ 是Lorentz不變的。

但是有一種方法可以保留交互作用的洛倫茲不變性。這種方式是構造它們以便在將$ A _ {\ mu} \轉換為A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $時不變。確切地說，相互作用的幅度$ M _ {\ mu_ {1} ... \ mu_ {n}}（p_ {i}，\ epsilon_ {j}（k_ {j}））$，其中$ \ epsilon $是光子螺旋（極化）矢量$ p_ {i} $是所有相互作用粒子的動量，而$ k_ {j} $是光子的動量），在變換下必須不變 $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu}（p）\ to \ epsilon _ {\ mu}（p）+ \ alpha p _ {\ mu} $$ 在形式語言上，可以通過用軟光子（幾乎為零動量的光子）的發射處理過程來表明，這意味著必須存在物質耦合$ g_ {i} $的守恆律： $$ g_ {1} + g_ {2} + ... = \ text {const} $$ 這不過是電荷守恆定律。與$（2）$一起，這只是$ U（1）$規的對稱性。

因此，我們看到，通過平方反比定律，光子與物質相互作用的洛倫茲不變性導致規範不變性。引力子與所有場相互作用的情況，可以類推地認為是等效原理。

規範理論描述了具有較小對稱額外尺寸的空間的連通性

從無限圓柱開始（直線和小圓圈的直接乘積）。圓柱體可以扭曲。為了避免吸引我要解釋的概念，我只想說圓柱體是由金屬絲網製成的：將均勻間隔的圓圈焊接到沿其長度延伸的電線上。長金屬絲可以作為一個整體旋轉，從而在每對相鄰的圓之間引入角度扭曲。顯然，任何這樣的配置都可以連續變形為其他任何形狀：從爬行的諺語螞蟻的角度來看，所有這些圓柱都是等效的。

用閉環代替直線，使產品成為圓環（並且將圓環視為網狀甜甜圈，即使這樣改變小圓圈的平面在技術上也打破了類比）。除了整個甜甜圈，甜甜圈的任何部分都可以變形為任何其他甜甜圈的相同部分，但由於整個甜甜圈周圍的淨扭曲無法改變，因此整個甜甜圈有時有時無法變形。等效的甜甜圈類型完全由這種固有的非局部性的淨扭曲來表徵。

用二維或更多尺寸的歧管替換迴路（不是小圓圈）。確實（儘管並不明顯），連接的物理部分完全由圍繞所有閉環（ Wilson環）的集成扭曲給出。

$ A $和$ F $量化連接性

在離散情況下，可以通過給出相鄰圓之間的扭曲來最簡單地描述連接。在連續極限中，這在每個圓處變為“扭轉梯度”。這就是$ A_ \ mu $，即所謂的矢量勢。

任何連續變形都可以用標量場$ \ phi $表示，該標量場表示每個圓的扭曲量（相對於之前的位置）。這樣會以$ \ phi $的梯度改變$ A_ \ mu $，但不會改變任何物理量（迴路積分）。

關於威爾遜循環的描述$ \ oint_ \ gamma A \ cdot \，\ mathrm dx $，由於它僅包含物理上有意義的數量，但它是非局部且高度冗餘的，因此更為優美。如果只是簡單地連接空間，則可以通過僅在差分環路周圍指定扭曲來避免冗餘和局部性，因為可以從它們構建更大的環路。所謂的場張量$ \ partial_ \ nu A_ \ mu-\ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $，可以為您提供準確的張量。

（如果不是簡單地連接空間，那麼對於基本組的生成集的每個元素，您仍然可以繞開微分迴路並加上一個淨扭轉。當然，圓環是一個簡單的例子。）

力來自阿哈羅諾夫–波姆效應

請考慮在整個空間上定義的標量字段（與以前的字段不同，此字段在每個圓的每個點上都取一個值）。除了兩個窄光束從一個點發散然後在其他地方會聚外，其他任何地方的磁場均為零。 （也許它們被鏡子反射了；也許空間是正彎曲的；沒關係。）

除非場在整個圓上保持恆定，否則光束的干涉行為將取決於沿兩條路徑的扭曲差異。這種差異只是路徑形成的閉環周圍的積分。

這是（廣義的）Aharonov–Bohm效應。如果將其限制為差分路徑，並使用$ F _ {\ mu \ nu} $計算對乾擾的影響，則會得到電磁力定律。

您可以將字段分解為Fourier組件。傅立葉光譜在小尺寸上是離散的。零諧波（恆定）不受扭曲影響。二次諧波的影響是第一次諧波的兩倍。這些是電荷。

實際上，由於未知原因，似乎僅存在某些超維諧波。如果僅存在一次諧波，則在大尺寸的每個點上都將磁場描述為單個複振幅+相位。該相位相對於矢量電勢也使用的任意局部零點。當您將相位與附近點的相位進行比較，並且它們之間存在矢量勢\\ mathrm d \ theta $時，您需要通過$ i \，\ mathrm d \ theta $調整字段值。這是量規協變導數的起源。

圓形可以推廣為其他形狀

如果用2個球體替換圓，則會得到$ \ mathrm {SU}（2）$量規理論。數值上還比較老手：對稱群是不可交換的，因此您必須引入李代數的意義。但是從幾何學上講，沒有什麼太大變化。連通性仍然是通過繞圈繞線來描述的。

一個不幸的區別是，將電荷描述為超維諧波不再有效。球諧函數僅提供整數自旋表示，並且所有已知粒子均處於標準模型$ \ mathrm {SU}（2）$的spin-0或spin-½表示中，因此受$影響的粒子\ mathrm {SU}（2）$根本無法用這種方式描述。也許可以使用更奇特的字段來解決此問題。

對於標準模型量規組的$ \ mathrm {SU}（3）$部分，我沒有什麼有見地的說法，只是指出整個SM量規組可以嵌入 $ \ mathrm {Spin}（10）$，我認為將9個球體可視化比具有$ \ mathrm {SU}（3）$對稱的形狀更容易。

廣義相對論相似

廣義相對論中，黎曼曲率張量類似於場張量；它代表圍繞微分迴路傳輸的矢量的角旋轉。Aharonov-Bohm效應類似於圍繞宇宙弦的角缺陷。 Kaluza-Klein理論最初是指從廣義相對論中五個方向獲取電磁的一種具體方法。現在，它通常是指廣義的思想，即標準模型的標稱力和廣義相對論可能是同一事物的不同方面。

在經典電動力學（CED）中，量規不變性是指電場和磁場與電勢$ \ varphi $和$ \ bf {A} $的特定“選擇”無關。勢能方程當然取決於“量規”的特定選擇，並且它們針對不同的量規給出了不同的解決方案。

在QM和QED中，規範不變性還表示方程式的形式的“不變性”（解決方案仍然不同，但物理上是等效的。）

但是請記住，如果相應的結果在物理上保持相同，那麼任何有用的變量更改也是可以接受的。為此，方程式的形式完全不應該是“不變的”。