軌道力學的麻煩在於，它很快變得非常複雜，很難直觀地理解。但是，我認為有一種相當直接的方法可以證明GR對月球轉移軌道的影響很小。但這需要一點準備，所以在我做簡短介紹的同時，請多多包涵。

我希望閱讀此站點的每個人都將知道牛頓定律賦予了重力勢能：

$$ V（r）=-\ frac {GMm} {r} $$

引力勢能歸因於引力，但對於繞行軌道的物體，也存在一個（虛擬的）離心力用力將其向外推。如果我們計算由於離心力產生的勢能並將其添加到重力勢能，我們將獲得有效勢能：

$$ V_ {eff}（r）=-\ frac {GMm} { r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} \ tag {1} $$

其中$ L $是角動量，對於軌道物體是一個常數（因為角動量在中央區域保存）。如果我們為月球轉移軌道上的物體計算$ V_ {eff} $，我們將得到如下圖：

穩定的圓形軌道位於最小的潛力，即大約384,400公里，這是令人放心的，因為這是地月距離。到目前為止，一切都很好。

但是當我們包括廣義相對論的影響時，我們發現它修改了有效勢的方程。 有關Schwarzschild大地測量學的Wikipedia文章中給出了詳細信息，但讓我們跳過這些詳細信息，僅給出$ V_ {eff} $的等式，包括相對論效應：

$$ V_ {eff}（r）=-\ frac {GMm} {r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2}-\ frac {GML ^ 2} {c ^ 2mr ^ 3} \ tag {2} $ $

因此，包括相對論效應在內，只會在$ r ^ {-3} $中添加第三項。

現在，我們通過找到最小值$ V_ {eff} $來計算穩定軌道的位置，即，我們計算$ dV / dr $，將其設置為零並求解得出的方程$ r $。為牛頓勢（1）進行操作會給我們：

$$ r = \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} \ tag {3} $$

查找相對論表達式（2）的最小值涉及更多點，因為我們最終要求平方解，但是有些擺弄最終以：

$$ r = \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left（1 + \ sqrt {1-\ frac {12G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2}} \ right）$$

使用二項式定理求平方根：

$$ \ begin {align} r & \ approx \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left（1 + 1-\ frac { 6G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2} \ right）\\ & \ approx \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2}-\ frac {3GM} {c ^ 2} \ tag {4 } \ end {align} $$

並比較我們計算的牛頓（3）和相對論（4）距離，我們發現它們之間的差異是：

$$ \ Delta r \大約\ frac {3GM} {c ^ 2} \大約1.3 \ text {cm} $$

因此，這包括算術相對論對算出的地球-月亮轉移軌道的影響-大約1.3cm！

自1960年代中期以來，噴氣推進實驗室已將廣義相對論效應納入其行星的數值積分中。例如，1967年發布的JPL DE19星曆表在其對太陽系的建模中加入了相對論效應。

這並沒有太大幫助。如果他們忽略了相對論的影響，那就沒有什麼影響了。那些較早的JPL星曆表中的錯誤迅速堆積，僅在短短幾年內就變得無用。這些錯誤中的大多數是由於極差的計算能力（您的筆記本電腦/家用計算機比1960年最大的超級計算機功能強大）和相當糟糕的測量結果（JPL深空網絡仍處於起步階段）引起的。

NASA的其他部分，包括JPL的其他部分，都沒有將相對論效應納入其航天器的傳播中。沒有什麼意義。早在1960年代，NASA的地球重力場模型是4x4球諧模型，而月球的模型是簡單的球重力模型。 （與2159x2159 EGM2008地球重力模型和900x900 GRGM900C月球重力模型相比。）這些已知限制引起的誤差使該誤差變得微不足道，因為沒有對那些微小的相對論效應建模。

1968年，NASA相當他們在月球探測器和1968年的阿波羅8號飛行中看到2公里的誤差，對此感到震驚。這是NASA追趕的事情。事實證明，月球的近側具有五個較大的質量濃度，這些質量濃度來自該簡單的球形重力模型。這個問題值得糾正。

不對相對論效應建模嗎？在許多情況下，這仍然不值得糾正。直到最近，我還是NASA Johnson Johnson Center所使用的許多軌道力學軟件的主要架構師。我每年要求能夠在我們的引力計算中增加相對論效應。每年都拒絕該請求。我之所以問是因為我想把它放進去，不是因為它對模擬航天器的行為很重要。

廣義相對論對航天器的影響很小。他們沒有足夠長的時間來看到忽略這些影響而導致的錯誤。忽略相對論效應會在傳播狀態中引起微小的錯誤，而其他錯誤則完全淹沒了這一錯誤。例如，在低地球軌道飛行器的情況下，地球高層大氣的不確定性很大。使地球的高空大氣像氣球一樣膨脹所需的一切只是太陽耀斑。當阻力高出幾個數量級，並且當您幸運地知道將阻力精確到兩個位置時，就無法對相對論效應進行建模了。

如果車輛駛向月球或飛向另一個在地球上，制導，導航和控制系統中的錯誤再次淹沒了相對論的影響。這些錯誤以及其他錯誤需要糾正，以免航天器錯過目標。每艘飛向其他太陽系物體的航天器都需要在此過程中至少進行一次中途校正。在最壞的情況下，忽略相對論效應僅意味著必須為中途校正帶來一點點額外的動力。

一些健全性檢查而沒有實際計算任何東西：

首先，由於忽略廣義相對論而導致的錯誤是如此之小，以至於它並未影響對月偏食的預測，除了在水星的軌道（至少要等到他們專門進行實驗以發現較小的差異之前）。我知道這不能給出完全令人滿意的答案，但是月亮和我們的火箭遵循相同的物理定律，如果開普勒力學對月亮足夠好，那麼對火箭也足夠好。

第二，火箭推力和持續時間的精度受到限制，尤其是半個世紀之前。蠻力機械工程的精度（肯定是固體燃料燃燒的火箭才有資格）精確到小數點後三位，這比牛頓動力學經實驗驗證的精度要差得多。 / p>

第三，在飛行過程中進行航向調整，以更正軌跡並到達正確的目的地。因此，我們並不是依靠極其精確的發射來消除誤差的累積。

簡而言之，相對論效應完全被硬金屬機械的不完善，燃料，燃料，燃料雜質，燃燒的不良量所掩蓋。發射期間大氣中的不規則性，湍流和一般空氣動力學，有效載荷重量的不確定確定，擋風玻璃上的便便等等。鑑於我們使用 steampunk技術到達月球，對於太空旅行，廣義相對論可以安全地忽略，至少在距離恆星足夠遠的情況下也是如此。

那當然並不意味著廣義相對論在其他地方不明顯。 GPS肯定會受到它的影響，而且我們的計時功能也足夠準確，可以檢測到您爬上高山然後下山時的時差。

我將開始對此進行滾動。我的GR知識可能不足以使其成為真正令人滿意的答案...

在Schwarzschild度量中以非相對論速度徑向移動的對象的重力加速度被修改為$（1 -r_s / r）（3 [1-r_s / r] -2）$，其中$ r_s = 2GM / c ^ 2 = 0.00885 m $（對於地球）。

如果我們選擇低地球幾百公里的軌道，係數為$ 0.999999995 $。對於地球和月球之間的某個地方，它的價格是$ 0.9999999998 $。乘以$ t ^ 2 $乘以上述因素。我認為第二個因素更為現實，因為大部分時間都在地球和月球之間度過。此處的引力場約為0.02 m / s $ ^ 2 $，在經過3天的飛行0.3米後給出了一個數量級的位置誤差；如果在更強的引力場上花費更多的時間，則引力場會更大。

我猜想我們可以通過對月球軌道上的地球使用Schwarzschild度量時間膨脹來進行一個數量級的計算。首先，月亮的時鐘比地球表面的時鐘要快$（1- r_s / r）^ {-1/2} $，其中$ r \ sim 6,400 \ km $。將其乘以3天，將導致0.2毫秒的時間誤差，在此期間，月亮已移動（扭動地球）了約0.2米。

因此，這種異常粗略的計算似乎表明GR不必擔心。但我確信有人可以做得更準確。無論如何，我都不認為這個問題的前提是正確的，因為在阿波羅飛行中途中和在軌飛行改正可以而且已經進行了幾次。

考慮到如果您的相對速度，範圍和角度測量值各自偏離+/- 5％，進行阿波羅式著陸並不是特別困難。

您可以簡單地進行進行較小的迭代校正，直到絕對值足夠小以至於不會引起相對誤差。在最壞的情況下，您需要攜帶更多的燃料安全裕度。

絕對可以，實際上，我強烈懷疑，廣義相對論從未在Apollo程序中使用。一方面，車載導航計算機的功能遠遠不足以使用GR執行任何有用的計算。

另一方面，可以將月球的位置測量到幾厘米以內（比將航天器安全地放到那裡要精確得多），並且肯定有必要使用GR來建模數據準確。