答案是否定的。無量綱或具有相同的尺寸是數量“兼容”的必要條件，但這不是充分的條件。人們試圖避免的事情稱為類別錯誤。在計算機編程中，存在類似的情況：人們希望避免將某些數據類型的值放到為其他數據類型保留的位置。但是，雖然值必須屬於相同的維度，才能屬於相同的“數據類型”，但沒有理由除了這些之外，還不能將它們劃分為其他許多類別。

牛頓米是扭矩和能量的單位，是每開爾文的熵和熱容量的焦耳，但將它們相加通常是有問題的。添加以計數的“無量綱單位”度量的著名蘋果和橙子也是如此。實際上，最後一個示例顯示類別的劃分取決於上下文，如果僅將蘋果和桔子作為對象，則可以添加它們。維數在物理學中如此突出，因為將不同維數的量混合幾乎沒有意義，並且有很好的微積分（維數分析）來跟踪它。但是，引入額外的類別來劃分扭矩和能量之類的量的值也很有意義，即使可能沒有很好的計算方法。

如您自己的示例所示，根據上下文對弧度進行不同處理也很有意義：以其類別（“維度”）命名。決定加法時要考慮球面度或數，但在代入先驗功能時不考慮它。赫茲通常用於測量波頻率，但由於週期和弧度正式為無量綱，因此它與角速度單位（弧度/秒）共享維數，弧度也使電流的安培數與磁通勢的安匝數之間存在唯一差異。同樣，無量綱球面度是流明和燭光之間的唯一區別，而發光強度和光通量則經常被區分出來。因此，在那些情況下，將弧度和弧度視為“維數”也很有意義。

事實上，直到1995年，弧度和球度都是SI的“補充單位”。在那一年，國際度量衡局（BIPM）決定 >補充單元的模糊狀態會損害SI的內部連貫性，並將其重新分類為“ 無量綱的派生單元”，其名稱和符號可以但不必在其他表達式中使用SI派生單位，這很方便”，因此消除了補充單位的類別。維持先驗功能的參數必須是無量綱的一般規則的願望可能起到了作用，但這表明維度狀態在一定程度上是由慣例而非事實決定的。同樣，安培作為新的基本單元直到1901年才被引入MKS系統，並在後來被併入SI。顧名思義，MKS最初僅以米，千克和秒為基本單位，但這需要以米和千克為單位的電流的分數功率。

正如@dmckee指出的，能量和扭矩可以分為標量和偽標量，這意味著在諸如反射之類的方向反轉變換下，前者保持其值，而後者切換符號。通過坐標變化下的變換規則，提出了另一種在物理中起重要作用的數量分類。在向量之間有“真實”向量（例如速度），輔助向量（例如動量）和偽向量（例如角動量），實際上所有張量都通過正交（相對論洛倫茲）組的表示來分類。它還帶有一個很好的演算，描述了在各種操作（點積，張量積，楔形積，收縮等）下張量類型如何組合。用微分形式重寫麥克斯韋電動力學的原因之一是要跟踪它們。當說背景度量不是歐幾里得時，這一點就變得很重要，因為向量和輔向量的識別取決於它。無論如何，不同的張量類型傾向於具有不同的維數，但是也有例外，並且分類顯然是獨立的。

但即使張量類型也可能不夠。在焦耳於1840年代測量機械熱當量之前，熱量（以卡路里為單位）和機械能（以導出單位為單位）具有兩個不同的維度。但是即使到了今天，人們仍希望在研究機械能和熱能大致分開守恆的系統時將它們歸為不同的類別，愛因斯坦的質量能也是如此。這意味著類別邊界不是一成不變的，可以出於實際方便或出於物理髮現而豎立或刪除。

Klein的書《測量的科學》描述了單位和單位系統在選擇和開發方面的許多歷史特點。

每當我想到這個問題時，我都會回頭閱讀Joel Spolsky的文章之一，“ 使錯誤的代碼看起來不正確”，其中涉及匈牙利表示法。不僅是無用的匈牙利表示法，其中以描述變量類型的方式來命名變量（對於浮點數，使用 f_pos ；對於雙精度數，使用 d_pos 等）-這在文章中是“ Systems Hungarian”，但實際上是一種實用的原始應用程序，“ Apps Hungarian”，其中變量的名稱反映了它代表的物理量。例如， x_pos 和 y_pos 用於水平和垂直位置。或者在一個可能與您的情況更相關的示例中，圓周和半徑分別使用 circ_length 和 rad_length 。

在Apps Hungarian中，如果您發現自己寫的是 circ_length + rad_length ，則可能會因為您不應該添加圓周和半徑而懷疑出了問題。即使它們在尺寸上是一致的，在某種意義上也不是兼容。您希望將其重寫為如下形式：

  circ_length + circ_from_rad（rad_length）
 

單位系統在物理上等同於Apps Hungarian。我們使用不同的單位來表示不兼容且不應添加在一起的不同變量。

乍一看，這似乎是一個怪異的觀點。畢竟，從直觀上看，似乎長度和時間在某種程度上是不同的，例如，高度和寬度卻沒有。但是隨後出現了相對論，我們得知長度和時間實際上是 兼容的，您只需要進行正確的轉換即可。

  prime_t，prime_x = prime_from_normal（normal_t，normal_x）
 

或換句話說，

$$ \ begin {pmatrix} ct'\\ x'\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ gamma &-\ beta \ gamma \\-\\ beta \ gamma & \ gamma \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix} $$

然後量子力學出現了，我們了解到能量和頻率也是一回事。

  energy = energy_from_freq（frequency）
 

$$ E = \ hbar \ omega $$

然後出現了量子引力，有人發明了 Planck單位，這沿兔子洞一直到了一切的地步。 >只是一個數字，您可以自由添加質量，電荷和力量。

遠離量子引力。

無論如何，如果通過顯示如何將它們相互轉換來減少不同單位的數量如此容易，那麼您也可以撤消該過程。您會將我們擁有的單位系統視為複雜系統的簡化版本，以區分通常認為相同的數量。例如，高度和寬度。您可以將“高度表”和“寬度表”作為有效的獨立單位。或者，在您的情況下，請使用“周長”和“半徑表” $$ 1 \ \ mathrm {rad} = \ frac {1 \ \ text {circumference-meter}} {1 \ \ text {radius-meter}} $$ 在您的系統中，不是與$ \ frac {1 \ \ text {height-meter}} {1 \ \ text {width-meter}} $相同。您可以通過將所有這些單位轉換為米來使其相同，在這種情況下，您可以恢復公制，但是會丟失單位系統提供的額外上下文信息。

這是一個實際示例：坡度$ m $定義為（水平）長度上的高度，$ \ Delta y / \ Delta x $，這表示坡度的單位為 $$ [m] = \ frac {\ text {height-meter}} {\ text {length-meter}} $$ 另一方面，角度$ \ alpha $定義為半徑上的周長， $$ [\ alpha] = \ frac {\ text {circumference-meter}} {\ text {radius-meter}} $$ 這兩者之間的關係是 $$ m = \ tan \ alpha $$ 因此，在此擴展單位系統中，您知道切線以$ \ frac {\ text {circumference-meter}} {\ text {radius-meter}} $$為單位，並以$ \ frac {\ text {height-meter}} {\ text {length-meter}} $。

但是，有一個問題。如果您要進行涉及恆星的橫向和後向速度的計算，該怎麼辦？ （分別垂直於視線和平行於視線。）在這種情況下，您仍將使用切線函數，但結果可能以$ \ frac {\ text {length-meter}} {\ text {height -meter}} $。嚴格來說，這可能意味著您應該有一個單獨的函數來產生這種輸出。在實踐中，您可以把它做得太深。將所有部件分開分配通常比其價值更大。

因此，您必須在兩個極端之間取得平衡。許多人認為，由單位指定角度來保存上下文信息即 angle （不是其他）是有用的。您可以通過觸發函數有意義地使用該信息：$ \ tan $之類的函數必須採用一個角度或長度的“圓形”比率（周長與半徑之比）作為輸入，並給出“矩形”比率作為輸出長度（從高到寬，反之亦然）。當然，弧度可能是一個“假”單位，但是在某種程度上，它不過是速度或角動量單位的偽造，並且是保持有用的信息。

這是一個有趣的數學答案。 （或者至少，我覺得它很有趣。）

讓我們認真對待以下想法：我們可以將弧度視為一個單位，然後從那裡開始。這意味著當我們編寫類似 $ \ sin \ theta $ span>的表達式時，參數 $ \ theta $ span>必須具有弧度單位，而結果（我假設）只是一個沒有任何單位的數字。或者換句話說，表達式 $ \ sin ^ {-1} x $ span>具有弧度單位。

現在，由於我們可以將 $ \ sin \ theta $ span>編寫為 $ \ frac {i} {2}（ e ^ {-i \ theta} -e ^ {i \ theta}）$ span>，這意味著 $ e ^ \ theta $ span>的參數也必須具有弧度單位。或者，換句話說，任何形式為 $ \ ln x $ span>的表達式都具有弧度單位，因為對數是指數的倒數。

但是，由於對數的積分是由 $$ \ int \ ln x \，dx = x \ ln x-x +C。 $$ span> 假設 $ x $ span>是一個無量綱數，則術語 $ x \ ln x $ span>具有弧度單位，但是 $ x $ span>項是無量綱的。因此，我們已經達到了您所尋找的那種不一致，即以弧度為單位的量被添加到無量綱的量中，而我們甚至根本不需要包含任何物理學。

這不一定是一個無法解決的問題。 benrg 有一個很好的答案，他指出您可以將上述積分的解決方案寫為 $ x \ ln（x / e）+ C= x \ ln x-x \ ln e + C $ span>，要點是 $ \ ln e $ span>是值為1的常數，但弧度的單位，因此表達式的單位是整體弧度。這似乎是一致的，我很喜歡。

所有這些都可能值得您多花一點時間，在一個下雨的下午，無事可做。我的意思是表明，即使在純粹的數學世界中，將弧度視為一個單位也不是一件容易的事。benrg表明，仍然可以始終如一地做到這一點，我覺得很有趣。

您不能隨意添加無量綱的數量，因為一個特定的無量綱的數量表示特定的物理事物這一簡單事實。使用您提供的示例，您無法將m / m添加到kg / kg，因為它們代表不同的數量；一個是角度，一個是部分質量含量。

這甚至可以用於尺寸量。因此，您有一輛卡車，這是一個3D對象，具有長度，高度和寬度。這些都以長度為單位進行度量，例如米，但它們代表的值不同。如果我想知道五輛卡車的首尾相接多久，我就無法使用寬度或高度，因為這些值與我正在測量或計算的值無關-即使它們是同一類型的單位，即尺寸相同。

您不僅需要檢查方程是否在尺寸上一致，甚至在 unit 上保持一致，還需要庫來確保尺寸操作確實有意義，因此必須知道值實際代表什麼， 那個。

這樣想：十二個是無量綱的嗎？

弧度（1），度（0.017）和 gradians （0.0157）都像十二 （12）。

公約說，度是角度，十幾個是卵。沒有人會說562度m / s / s，就像沒有人說0.82打m / s / s。他們說9.8 m / s / s。但是他們完全可以。沒有基本的數學或物理原因在起作用，只是出於交流目的的慣例。

換句話說，只要給予 1.8打，就如同對待 90度一樣。

1. 一方面，它只是一個標量。如果將長度乘以它，就會得到一個長度。如果將質量乘以質量，就會得到質量。 （僅供參考，以免引起您的反感，著名的圓周/半徑比可能會出現在一些意外的地方。）
2. 另一方面，3打加4個單位不是7打；您需要考慮某個地方的差異。
ol>

這完全取決於您的方式或位置。只是知道區別不在於dimension之一，而是magnitude之一。

我回答了另一個基於單元的問題與此非常相關。我在其中指出，單位不是宇宙基礎的基本概念。人們發現它們是一個概念，有助於將現實世界與我們用來描述世界的數學方程式聯繫起來。因此，它們的主要目的是有用的。

在數學中，顯然弧度實際上是單位小於的比例，這使度實際上是$ \ frac {\ pi} {180} $的標量。但是，在許多工程學科中，將它們視為獨立的單元更有用，並且僅在必要時才“丟棄”它們，例如對於我們而言，已存在的 sin 或 cos 函數。

Boost可以說是現有的首屈一指的C ++庫，其中包含一個單位系統 Boost.Units。 Boost.Units定義不是無量綱的角度單位。實際上，它們定義了描述弧度和度數的 planar_angle 維，並描述了球面度的 solid_angle 維。它們在Boost.Units中是不同的維度，即使在數學中它們都是比率，因此您可以很好地將角度視為不是完全無量綱的量。

如果我正確理解了您的問題，那麼您正在尋找物理學中將角度添加到任何無量綱但非角度量的情況。我不認為這種情況經常發生，但是有可能。

例如，考慮QED的量表轉換。電子場轉換為 $$ \ psi \ to e ^ {ie \ theta（x）} \ psi $$ span> 因此 $ \ theta（x）$ span>是一個角度。但是電磁場轉換為 $$ A_ \ mu \ to A_ \ mu + \ partial_ \ mu \ theta（x）$$ span> 所以我們要為非角量增加一個角度。

從更深層次上講，您不經常看到非角度添加角度的原因是，角度僅定義為 $ 2 \ pi $ span的倍數>，而大多數非角量則不是。因此，您不能將角度添加到具有確定值的無量綱物理量。我上面的示例僅由於量規對稱性而起作用： $ A_ \ mu $ span>的精確值不是物理值，因此允許一定程度的重新定義。

我個人認為，至少從一開始就不應該混淆一個角度，例如$ \ alpha $，以及一個圓弧的弧長與其半徑$ r $之間的比率。就基本概念而言，角度需要談論一種新型的“事物”。例如，它們既不是長度也不是時間間隔。

此外，從幾何角度來看，角度由其正弦和余弦週期的值定義。在這方面，“角度尺寸”在概念上可以看作是圓的一部分。

當某人注視一個足夠近的圓（即，對於小角度）時，圓弧長度可以由一個直線段很好地逼近，然後得出這種關係 \ begin {equation} \ sin \ alpha \ approx \ frac {\ ell} {R} \ end {equation} 出現在右側的數字（而不是單位）將是數字$ 2 \ pi $的分數。現在，如果我們將$ \ alpha_ {tot} $命名為一個圓跨過的總角度，並說上面的近似值很好，例如$ \ alpha = \ alpha_ {tot} / {10 ^ 6} $，然後我們得到了

\ begin {equation} \ sin \ frac {\ alpha_ {tot}} {10 ^ 6} \ approx \ frac {2 \ pi} {10 ^ 6} \ end {equation}

然後，我認為決定角度的自然單位是弧度的單位是一個選擇問題，這樣$ \ alpha_ {tot} = 2 \ pi \：rad $。 但是，由於上述平等，導致了重要的後果：

• 弧度必須是無量綱的
• 正弦和余弦函數是計算器中唯一關心單位的函數
• 等式$ \ ell = \ alpha R $僅在$ \ alpha $以弧度表示時有效。因此，從某種意義上說，它不是一個完整的維數方程，因為如果以度為單位表示角度單位，則該方程將為假。

我沒有從頭開始重建幾何的任務，但是我的直覺是這是明智的，並且可以一貫地做到。對數（或逆三角函數）將您帶入不同的（超越）數值域，而指數（或三角函數）將您帶回，並且添加來自不同域的數量似乎是不正確的。這正是單位有用的情況。

將其稱為“角度”還不夠普遍，因為它也適用於實數對數。系統中信息的位數是等概率狀態數的以2為底的對數，“位”通常用作該單位的單位。同樣，“ nat”用於基數e對數。如果這一切都一致，則“ nat”和“弧度”是相同的單位。

如果對數具有維，則它不再具有基數：單位的選擇將代替基數的選擇。無底對數滿足$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ log x =ə/ x $和$ \ int \ log x \，\ mathrm dx = x \ log x-əx+ C $，其中$ ə= \ log e = \ lim_ {n \ to \ infty} n \ log（1 + 1 / n）= 1 \，\ text {rad} $。請注意，這些方程式也適用於任何底數的普通對數，儘管它們從未提及底數-就像任何其他尺寸正確的方程式一樣。 ə的因素可能看起來很奇怪，但我認為這只是缺乏了解。當$ \ pi $或$ c $出現在整個地方時，沒人能看到。

弧長可能不應該只是$ r \ theta $，因為它的尺寸為$ \ text {length} \ cdot \ text {angle} $。當然可以寫$ r \ theta /ə$，但是我認為更好的方法是將任意高斯曲率$ k $推廣。則無量綱公式為$ r \ theta \，\ text {sinc} \; r \ sqrt {k} $，或者對於$ d $球面上的立體角$ \ Omega $，為$ \ Omega（r \ ，\ text {sinc} \; r \ sqrt {k}）^ d $。如果您給$ k $的尺寸$（\ text {angle} / \ text {length}）^ 2 $，這似乎很明智，而結果的尺寸為$ \ text {length} ^ d $，而無需任何其他因素。

Euler的公式變為$ \ expiə\ tau = 1 $。 （或者$ \ expiə\ pi = -1 $，但只要我們正在重建數學，我們就可以進行一些其他改革。）

鑑於您經常將“位”，“ nat”，“ rad”，“ deg”等視為臨時單位，所以奇怪的是，它從未正式化（據我所知）。當然，數學家從不關心單位。但是物理學家喜歡它們。

以下是一個實際的答案，該人實際上已經許多年多次以多種語言（從Mathematica到Simulink到Excel）編寫了全面的單元庫。因此，這兩個要點都是基於我的個人經驗：

• 如果您要創建一個通用單元庫，以供許多從事很多工作的人使用，我建議您不要將角度設置為unit，因為這裡有很多“陷阱”，通常需要在其中進行乘法運算或在沒有直觀意義的情況下將一些隨機量除以“弧度”，這將使用戶感到困惑和沮喪。
• 如果您要為某個特定的應用程序製作一個單元庫，該應用程序中經常出現角度或立體角，物理公式相對簡單且範圍狹窄，只有您或您的密友使用該代碼的情況，那麼我不要建議將角度設置為unit，因為額外的錯誤檢查優勢要勝過偶爾引起混淆的“陷阱”。 （“陷阱”的數量將受到限制，您將可以學習何時期望它們並進行干預。）

將坐標轉換視為單位轉換的概括。

在單位之間轉換時，您正在對單個對應的物理尺寸進行非常簡單的坐標轉換：

乘法*。

在添加兩個角度時，實際上是在處理極坐標系。基礎區域（物理場）保持不變，但是當您嘗試將兩個角度加在一起時，地圖會更改。新地圖仍然是帶有笛卡爾網格的二維地圖，但是它是舊地圖的翹曲，就像地球的墨卡托投影一樣。然後，將所有與“ tan（angle）”之類的表達式的維數有關的隱患都隱藏在坐標變換中，這些坐標變換本身就是單位轉換的概括。

此外，對於極坐標，存在一個新的扭曲，即其中一個維度是有限的-它環繞。這意味著地圖實際上是一個無限長但周長有限的圓柱體。模運算就成為可共性概念的關鍵。

對於諸如“高度表”和“長度表”之類的矢量量，它們涉及矢量運算。維度分析可以應用於向量數量及其運算，就像標量運算一樣。

*在溫度之間進行轉換是乘以偏移量，但仍然是單維坐標轉換。

事實是，“維度”這個概念通常是不物理的，它是一種人類構造，其發明是為了使人們能夠在由於某種原因而無法比較不同數量時進行計算（知識不足，想要使用不兼容的同一等式中的單位等）。實際上，所有事物實際上都是無量綱的，因為某個物理量從根本上是維數意味著什麼？您可以做一個實驗來證明這一點嗎？顯然不是，因此維度的概念是不可偽造的，這只是我們遵守的約定（當我們不使用自然單位時）。

因此，角度確實是無量綱的，但是從長度上，時間間隔，質量溫度等方面也是如此。 ，但是關於長度，時間間隔，質量等也可以說同樣的話。雖然您可以通過放置$ \ hbar = c = G = 1 $來使用自然單位，並丟棄任何尺寸概念，但這仍然沒有意義通常會為物理量添加一些隨機表達式。

但是，如果整個維度的概念都是虛假的，那麼維度分析將如何工作？原因是它可以從真正的縮放參數出現。應該考慮到常量$ \ hbar $，$ c $和$ G $可用，因此無法設置維參數，因為您可以始終使用這些常量將一維轉換為其他維。因此，根據手頭的問題，維分析始終必須帶有一些附加的特殊規則，以不使用這些常量中的一個或多個。

強加一個規則，禁止您在進行維分析時使用$ c $將長度轉換為時間間隔，反之亦然，這意味著什麼？您可以說這意味著相對論效應可以忽略。但這意味著，當使用自然單位時，我們可以通過引入無量綱縮放常數$ c $來相對於長度重新調整時間間隔，該常數恰好出現在我們通常將光速放入方程中的位置，然後考慮發送$ c $的縮放限制到無窮遠。這就是應該如何重新解釋維分析的方法。

現在縮放參數當然不限於長度，時間間隔等，您可以提出涉及角度的縮放參數，例如在小角度範圍內進行計算時。但是否則，當角度不小時，沒有明顯的縮放限制，因此為角度分配尺寸的想法與不使用相對論中的$ c = 1 $單位一樣不自然。

Angle的Dimensions取決於一個人的觀點和目的（使用尺寸）。

像Units（和隱含比例）一樣，角度也取決於支持這些觀點和目的的當地習俗和慣例。

我個人希望“角度”成為一個尺寸，特別是對於科學和工程計算中的錯誤檢測和校正。有一些適用的工具確實包括尺寸檢查和預測，例如MathCAD，Mathematica（附加組件），Maple等，但是它們並不像以前那樣普遍。

那些使用基本（純數字）數字計算工具的人通常看不到問題，因此爭論變得很激烈。

同樣，從歷史上看，當鉛筆和紙盛行時，“單位和尺寸”的確定與算術無關，因此發生了類似的問題。從未使用過將單位縮放和尺寸包含在符號計算中的功能。

對於數學家來說，在數學理論的適用性中達到一定的抽像水平通常很重要。他們有一個通用的“長度”概念，然後其他人將其與用尺子（或同等尺子）測量的每天的“長度”概念混淆。

應注意，長度實際上不是尺寸。而是它是3D空間的度量。如果Length僅是一維（真實）空間，那麼就不會有角度問題，因為Length空間內的物體不會有6個自由度問題（第二個3度是角度！）。

對於1D長度空間，複雜化可能是一個問題，但人們不得不問“正交虛維在哪裡？”

假設通過“補充維度”重新允許結果報告和計算的消歧（在SI中），那麼它將大大減少工程和科學中的錯誤數量，並從一開始就改進計算工具使用它們。

在一些地方，需要進行額外的“教育”，以使扭矩定義為每弧度的牛頓米，因此不同於工作（牛頓米）。不良習慣需要很長時間才能學會！

在 http://iopscience.iop.org/0026-1394/47/6/R01/上有一篇有關如何為自動化時代準備好SI的問題的很好的評論文章[ stacks.iop.org/Met/47/R41]。

霍爾還發表了另一篇有關軟件系統需求的論文“物理數量的軟件支持”（網址為 http://mst.irl.cri.nz/Portals/5/enzcon.pdf ，可通過 https://www.researchgate.net/publication/236673054_Software_support_for_physical_quantities）

我也向Mathcad提出了建議，但該文檔目前不可見 https://www.ptcusercommunity.com/docs/DOC-1501

No。

除了這裡已經提到的示例外，還有一些實際問題，這些問題具有不同的無量綱數量以及為什麼它們不能混合。 ：（

從角速度單位開始：

• 頻率$ f $的赫茲（Hz），以每秒的周期數為單位（相當於$ \ frac {2 \ cdot \ pi} {s} $）

或

• 角頻率 $ \ omega $，以$ \ frac {rad} {s} $
為單位

如果使用$ hf $或$ \ hbar \ omega $計算光子能量，則可以自由選擇。如果仔細閱讀書籍，您會發現很多使用頻率值的書籍都沒有提到它們是指角頻率還是正常頻率（特別是有關光學和振動的理論著作），這讓您感到沮喪。

使用香精油會變得更糟：
高斯單位制認為，消除庫侖定律中的逆因子$ 4 \ cdot \ pi $是一個好主意。問題是，如果在閉合的立體角上積分電荷，則會出現必須係數，因此擦除該係數意味著高斯系統將設置完整的立體角，即等於1的完整球體。這將導致如果您嘗試處理高斯系統中的光度方程，將無盡的痛苦。另一個問題是，SI和高斯單位不易轉換。在高斯單元中，多項式方程式保留因子1，而SI單元則需要將方程式調整為$（4 \ cdot \ pi）^ n $。

無量綱的並不是的維度，而是它的lack。您不會違反規則1，因為它將only應用於have尺寸的數量。如果您還想處理缺少尺寸的數量，則必須先知道是什麼尺寸，然後才能“取消”。例如：如果您有一個數量為 l / l 的數量和另一個數量為 m / m 的數量，則即使它們（在其尺寸之後）也知道它們不是“兼容的”取消）他們似乎是。如果您無法獲得以前的歷史記錄，則只需將結果“標記”為：“結果可能無效，因為涉及到無量綱的數量。”

就角度而言，它們的do具有尺寸（度，弧度，弧度）。添加（或減去）具有相同尺寸的angles應該沒有問題。因此，只要將尺寸“附加”到每個數量，“處理”它就不會有問題。

是否使用弧度或度來量化角度的問題不是尺寸的問題，這是我們對angle使用哪個定義的問題。

您可以查看此答案進行詳細說明。但基本上，請考慮一下物質密度。這可能具有$ \ frac {\ text {kg}} {\ text {m} ^ 3} $或$ \ frac {\ text {lb}} {\ text {cm} ^ 3} $（或其他許多尺寸）選項）。但是這些維度並沒有改變以下事實：物質密度始終定義為$ \ frac {\ text {物質質量}} {\ text {物質體積}} $。或者，我們可以將物質密度定義為$ \ frac {\ text {物質質量}} {5 \ times（\ text {物質體積}）} $。這本來是有用的，並且包含與更標準的定義相同的信息，但是這意味著我們將需要在公式中隨身攜帶所有這些$ 5 $ s。在我們的定義中，僅使用$ 1 $ s而不是$ 5 $ s更為自然。沒有充分的理由擁有5美元或任何其他數字。 （注意：在數學上，如果使用其他尺寸，此替代定義可以提供與標准定義相同的物質密度數值，但是出於解釋的原因，您可以將其視為數學上的好奇或偶然）。 / p>

對於角度，實際上有充分的理由要有多個定義。造成這種情況的根本原因是，存在一個非常自然且“特殊”的角度，該角度非常有用-繞圓一周的完整旋轉角度。 （相反，除了真空的物質密度之外，沒有自然的“特殊”物質密度。）因此，對角度的第一個良好定義將僅涉及$ 1 $ s：$ \ text {angle} = \ frac {\ text {圓弧長度}} {\ text {圓半徑長度}} $。這個定義很好，因為當我們使用$ \ sin $之類的函數時，我們不需要攜帶任何額外的煩人因素（除非我們相應地重新定義這些功能，但這將導致無休止的攜帶煩人的鏈條其他功能中的數字）。此定義的缺點是，特殊角度（圍繞一個圓完整旋轉）變成了一個醜陋的無理數，其小數位數永不終止：$ 6.28318530718 ... $。第二個好的定義通過將角度（近似）定義為$ \ text {angle} = \ frac {\ text {circar arc length}} {\ text {circle radius length}} \ times {57.29577951308} $來解決此問題。這使特殊角度為$ 360 $，這非常好，因為它是整數，並且其他一些重要角度也變成了整數（直線角，直角）。但是另一方面，此定義非常不自然，並且與我們對其他函數（例如$ \ sin $）的定義不兼容。 （此答案展示了這種不兼容性）