使用哈密頓形式主義的原因有很多：

1. 統計物理學。純狀態的標準熱狀態權重根據

   $$ \ text {Prob}（\ text {state}）\ propto e ^ {-H給出（\ text {state}）/ k_BT} $$ span>

   因此，您需要了解漢密爾頓主義者才能真正地掌握統計數據。

2. 幾何美感。漢密爾頓的方程式說，時間流相當於在相空間上沿著矢量場流。這給出了時間演化在此類系統中如何工作的良好幾何圖形。人們在動力學系統中大量使用此框架，在動力學系統中，他們研究諸如“時間演化是否混亂？”之類的問題。

3. 量子物理學的概括。量子力學的基本形式主義（狀態和可觀察性）是哈密頓形式主義的明顯概括。它與拉格朗日形式主義之間的聯繫不太明顯，而與牛頓形式主義之間的聯繫也不太明顯。

ol>

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[編輯以回應評論： ]

這可能太簡短了，但基本故事如下：

在哈密頓力學中，可觀測量是交換代數的元素，該交換代數帶有泊松括號 $ \ {\ cdot，\ cdot \} $ span>。可觀測的代數具有一個獨特的元素哈密頓量，它通過 $ d \ mathcal {O} / dt = \ {\ mathcal {O}，H \} $ span>。熱態只是該代數上的線性函數。 （可觀對像在相空間上實現為函數，括號來自那裡的辛結構。但是，可觀對象的代數很重要：您可以從函數代數中恢復相空間。）

另一方面，在量子物理學中，我們有一個可交換的可觀觀測數。但它仍然有一個括號 $ \ {\ cdot，\ cdot \} =-\ frac {i} {\ hbar} [\ cdot，\ cdot] $ span>（換向器），它仍然可以通過 $ H $ span>通過 $ d \ mathcal {O } / dt = \ {\ mathcal {O}，H \} $ span>。同樣，熱態仍然是代數上的線性泛函。

要在user1504的響應中添加更多註釋：

1. 對於配置空間為$ n $的系統，漢密爾頓方程是一組$ 2n $，耦合的，一階 ODE，而Euler-Lagrange方程是一組$ n $，二階 ODE。在給定的問題中，求解一階漢密爾頓方程可能會更容易（儘管可悲的是，我暫時無法想到一個好的例子）。

2. 量子力學通常以哈密頓形式表示，但正如user1504的答案中所隱含的那樣，有可能使用拉格朗日法來量化經典系統。哈密​​頓方法通常被稱為“規範量化”，而拉格朗日方法則被稱為“路徑積分量化”。

ol>

編輯。正如用戶Qmechanic指出的那樣，我的觀點2並非嚴格正確；路徑積分量化也可以用哈密頓量進行。例如，請參見本物理學。SE帖子：

在路徑積分中，拉格朗日或哈密頓是基本的嗎？

1. 首先，拉格朗日是一個沒有物理意義的數學量，但是 Hamiltonian 是物理量（例如，它的總能量為系統（在某些情況下），並且漢密爾頓力學中的所有量都具有物理意義，這使得更容易具有物理直覺。

2. 在哈密頓力學中，您可以進行規範轉換，從而可以更改坐標並找到更容易解決問題的規範坐標和動量。

3. 最重要的是，拉格朗日方法是解決經典力學問題的強大數學方法，而哈密頓方法則是解決經典力學，量子力學，統計力學，熱力學問題的強大方法...等等實際上幾乎所有的物理學...

ol>

例如：在熱力學中：吉布斯自由能，亥姆霍茲自由能...都是漢密爾頓量的經典變換。

以前的答案沒有足夠強調的另一點是，哈密頓形式主義允許您進行規範變換，以切換到相空間中可能的最佳坐標係來描述該系統。這比拉格朗日力學要好得多，在拉格朗日力學中，您只能在配置空間中進行坐標轉換。 （相空間的維數是原來的兩倍，因此您有更大的自由度。）我發現泊松括號在漢密爾頓力學中非常有用，可以用來寫相空間變量的任意函數的運動方程：$ \ dot {Q} = \ {Q，H \} $。可以在哈密頓力學中找到守恆量（$ \ dot {Q} = 0 $），這在拉格朗日力學中不明顯。

示例：

1. 正常模式振盪。如果哈密頓量證明是$ N $對象系統的坐標和動量的二次函數，例如$ H = \ sum_ {ij} M_ {ij} q_i q_j + \ sum_ {ij} M_ {ij} p_i p_j $然後，您可以簡單地沿$ M_ {ij} $特徵向量進行規範變換，以對角化$ M_ { ij} $，並且您的系統分離為獨立的諧波振盪器。

2. 攝動理論。您可以通過將哈密頓量擴展到相空間變量的二階來簡單地檢查平衡態附近的振盪。

3. 在行星動力學中，行星與中心恆星的相互作用及其相互相互作用之間存在巨大的尺度分離。 “世俗理論”描述了使用哈密頓力學的系統的長期演變。您可以沿短期交互作用的動作角度變量應用規範變換（馮·塞佩爾變換）。然後，您可以得出長期的演變（例如，偏心率和傾角的演變），研究行星的長期擾動效應是否會共振地疊加，系統是否混亂等等。

ol>

與拉格朗日相比，這是一個與漢密爾頓有關的事實，我發現這並不無關緊要（值得牢記）。

假設拉格朗日 $ L $ span>和哈密爾頓 $ H $ span>相對於某些坐標 $ q_1 $ span>是循環的。然後我們有一個定理（cfr。[1]）：

其他坐標的演變 $ q_2，...，q_n $ span>是具有 $ n-1 $ span>獨立坐標 $ q_2，...，q_n $ ，哈密頓量 $$ H（p_2，...，p_n，q_2，...，q_n，t，c），$$ span>取決於參數 $ c = p_1 $ span>。

請注意，如果而不是 $ H $ span>我們給出了拉格朗日 $ L $ span> 的定理。

要確切地理解我的意思，請考慮兩體問題的簡化拉格朗日式： $$ L = \ frac {\ mu} {2}（\ dot r ^ 2 + r ^ 2 \ dot \ varphi ^ 2）-U（r）。$$ span>我們有 $$ p_ \ varphi = \ mu r ^ 2 \點\ varphi = \ ell \ quad（\ text {constant}）。$$ span>現在嘗試插入 $$ \ dot \ varphi = \ frac {\ ell} { \ mu r ^ 2} $$ span>在拉格朗日內部，將獲得的運動方程與將其直接插入運動方程中的方程進行比較 $ \ frac {\ partial L} {\ partial r} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot r} $ span>。

[1]“經典力學的數學方法阿諾德，§15Cor.2。

除了已經發布的幾個不錯的答案：

1）哈密頓力學使之適用於一般的系統形式的擾動理論，稱為“規範擾動理論”。拉格朗日力學中的微擾理論往往是臨時性的和逐案的。我懷疑這就是漢密爾頓和雅各比最初發展該理論的原因，因為他們當然不知道其未來的統計機制和量子應用。

2）哈密頓力學導出了哈密頓-雅各比方程，該方程對於發現複雜系統的非明顯守恆量很有用。

3）漢密爾頓-雅各比方程反過來導致作用角變量，這在天文學中特別有用（早期物理學家對此很在意）。

了解哈米洛蒂安經典力學和量子力學之間關係的一種方法不是尋找漢密爾頓->量子漢密爾頓（存在：幾何量化）的直接翻譯，而是考慮反向關係。給定一個Hamiltion運算符，並根據形式為$ e ^ {\ frac {i} {\ hbar} \ phi} $的波動函數（可以認為是位置較高的波動數據包）對其進行評估，可以簡化限制$ \ hbar \到經典哈密頓算子的哈密頓-雅各比方程的0美元。這被稱為WKB逼近，並且也適用於光學（即，光線在第一逼近中遵循相關漢密爾頓圖像的積分曲線）。

此外，您還可以以簡寫形式編寫漢密爾頓運動方程：$$ \ dot \ xi_i = \ omega_ {ij} \ frac {\ partial H} {\ partial \ xi_j} $$

其中$ \ xi_i $是相空間中的坐標，即$ \ xi =（\ mathbf q，\ mathbf p）$。並且，$ \ omega $是辛矩陣：$$ \ omega = \ begin {bmatrix} 0 && -I_ {n \ times n} \\ I_ {n \ times n} && 0 \\\ end {bmatrix} $ $

其中$ I_ {n \ timesn} $是單位矩陣，具有$ n $個空間坐標系（因此，$ n $個速度和那些$ 2n $個相位量空間坐標）。另外，對於可觀察的$ G $，我們有：$ \ dot G = \ {G，H \} $，如您所知。因此，您可以輕鬆地掌握給定可觀測$ G $的動態。一切都很漂亮，整潔和一般，但是......

但是...這是我認為是哈密頓力學最令人驚訝的部分：$$ X = x ^ i \ partial_i = \ {\ xi ^ i，H \} \ partial_i $$

其中$ X $是哈密頓向量場。現在，我們可以推廣一個可觀察的$ G $，其向量字段為：$$ X_G = x ^ i_G \ partial_i，\ quadx ^ i_G = \ {\ xi ^ i，G \} = \ frac {d \ xi ^ i} {d \ epsilon} $$

對於可觀察的$ G $的任何給定參數$ \ epsilon $，生成運算符$ X_G $。一階泰勒展開式：$$ \ xi ^ i（\ epsilon）-\ xi ^ i（\ epsilon_0）=（\ epsilon-\ epsilon_0）X_G \ xi ^ i $$

運算符$ X_G $作用於$ \ xi ^ i $。我們可以在連續的無窮小變換中求解微分方程，達到基本指數極限，從而對於任何可觀察的$ G $：$$ \ xi ^ i（\ epsilon）= \ exp \ left（\ Delta \ epsilon X_G \ right）\ xi ^ i_0 $$

您了解它的力量嗎？再次指出，這是任何哈密頓系統的解，它是由運算符$ X_G $生成的，帶有參數$ \ epsilon $的任何可觀測$ G $的。如果要分析動力學，則$ \ epsilon $是時間，而$ G $是哈密頓量，其中$ X_H $定義了哈密頓向量空間。所有哈密爾頓系統都具有相同的解決方案。同樣的解決方案！因此，讓我們求解動力學問題（即，其中$ \ epsilon $是時間）：$$ \ xi ^ i（t）= \ exp \ left（\ Delta t \ frac {d} {dt} \ right）\ xi^ i_0 $$

所以，如您所見，非常好。拉格朗日力學為您提供了很好的統一運動方程。哈密頓力學為運動方程式提供了很好的相空間統一解。並且還使您有可能獲得關聯的運算符，以及獨立於坐標的辛幾何解釋。前者在量子力學中至關重要，而後者在動力學系統中至關重要。

規範（哈密爾頓）形式主義為量化引力提供了主要途徑之一。廣義相對論可以用時空的ADM 3 + 1分解來表示：

http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism

哈密頓理論的基礎是量子力學：

http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(quantum_mechanics）

這不僅提供了在其他方面根本不相容的理論（量子場論和廣義相對論）之間難以捉摸的聯繫，但是在GR的哈密頓形式主義中，有可能通過標準的愛因斯坦場方程在數值上解決原本極其困難或不可能的問題。

順便說一下，拉格朗日（和拉格朗日密度） 是廣義相對論的物理，因為人們可以直接從愛因斯坦-希爾伯特作用推導愛因斯坦場方程。作用的最小化也是量子場論路徑積分法的基礎：

http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

在QFT中如此有用的Feynman圖是直接從中得出的，當然，弦論是路徑積分方法的更高維概括。

http://www.staff.science。 uu.nl/~hooft101/lectures/stringnotes.pdf

哈密頓量可用於描述N體系統的“相密度”的演變。相密度是根據利維爾定理在一個處於平衡狀態的系統的守恆量。位置和動量可以描述任何一般的強化參數。吉布斯使用這種方法來推導統計力學。

這種概率密度函數演化概念的方法可以在許多其他應用中使用。我目前的研究將其應用於狀態空間控制理論，經濟分析以及評估細胞中的輻射損傷。因此，儘管有些複雜，但它非常有用。它與熵最大化並駕齊驅。

哈密頓量的一個好處是 Noether定理的直接表達。 Noether定理說對稱性導致守恆量。

理解Noether定理的一種方法是，具有對稱性的系統在Lagrangian中具有關聯的可忽略坐標。例如，具有旋轉對稱性的系統可以用坐標表示，其中旋轉角度 $ \ phi $ span>在拉格朗日語中不出現。

$$ \ frac {\ partial L} {\ partial \ phi} = 0 \ implies \ frac {d} {dt} \ left（\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {\ phi}} \ right）= \ frac {d p_ \ phi} {dt} = 0 $$ span>

因此動量的 $ \ phi $ span>分量得以保留。

哈密頓方法在數值方法中特別有用。請注意，漢密爾頓演化方程之一是如何告訴我們動量變化的。

$$ \ frac {d p_i} {dt} =-\ frac {\ partial H} {\ partial q ^ i}，\ quad \ frac {dq ^ i} {dt} = \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} $$ span>

在具有守恆定律的系統中，漢密爾頓方程將明確要求守恆。在許多情況下，哈密頓量本身就是一個守恆量（如能量）。尋找漢密爾頓方程的數值解而不是牛頓第二定律將導致數值解的更大穩定性。使用此功能的一類完整的微分方程求解方法辛普林積分器。

如果直接從 $ \ vec {F} = m \ ddot {\ vec {x}} $ span>用數值方法發展軌道問題，則會產生數值誤差快速發展，軌道將偏離真正的解決方案。一種觀察方法是將能量和角動量計算為時間的函數（ $ E（t）$ span>， $ \ ell（t）$ span>）來自位置解 $ r（t）$ span>， $ \ theta（t ）$ span>， $ \ phi（t）$ span>。您會發現 $ E（t）$ span>和 $ \ ell（t）$ span>明顯不同從初始值開始，並不斷惡化。

使用漢密爾頓方程式時，數值誤差會影響您的計算，但是 $ \ ell（）$ span>在每一步都將完全相同，並且 $ E（t）$ span>將更加穩定，因為它是穩定的 $ p $ span>的函數， $ q $ span>。位置坐標將仍然存在數字錯誤。但是，因為 $ E $ span>和 $ \ ell $ span>是穩定的，所以坐標會圍繞真實值擺動比發散。

極其簡短且未提及的答案：量子力學（QM）中的動量和位置以form算子表示海森堡代數。在牛頓力學（NM）中，沒有可見的基本代數結構，但是在哈密頓力學（HM）中，動量和位置也構成了海森堡代數的表示形式，這次是根據實函數。從群體理論的角度來看，HM和QM幾乎沒有區別，而與NM相比，QM看起來像魔術。

力學的經典問題是求解給定的拉格朗日系統或哈密頓系統的運動方程。在這種情況下，是否使用漢密爾頓形式主義或拉格朗日形式主義來進行選擇只是一個選擇。找到解決方案後，其中將包含有關該特定係統的所有信息。

但是，如果要問一個更基本的問題，即物理系統的屬性是否不特定於哈密頓/拉格朗日的特定形式，而是所有系統都固有的。為了回答這個問題，需要解開所有物理系統通用的數學結構。正是在那時，漢密爾頓公式與拉格朗日公式有區別：漢密爾頓系統基礎的通用結構被稱為“辛賓流形”，結果證明其數學是如此豐富，以至於直到這個日期。

與哈密頓量的特定形式無關的哈密頓量系統的一般性質的最突出示例是Liouville定理，該定理指出相空間隨時間保留。直觀地講，這意味著信息在系統生命週期中不會丟失。

當時空不是歐幾里得時，研究哈密頓動力學/辛流形變得特別有用。例如，對於n> 1，在球體 $ S ^ {2n} $ span>上不存在辛流形，因此漢密爾頓動力學不存在。因此，可以在辛流形/哈密頓環境而不是拉格朗日形式主義中很自然地研究這些類型的問題。

以下答案有些“直覺”，但希望仍然大部分正確，或至少令人髮指。很抱歉缺乏嚴謹。我計劃有一天將這些想法寫下來，寫在一些不錯的博客文章中，這只是一個粗略的草圖。

我不確定，但“哈密頓量”概念的最大要點是兩個獨立的系統能量相加。

非相互作用系統可以用H1 + H2來描述。

我搜索了此頁面，對此沒有描述。

為什麼這種可加性如此重要？

讓我們來一個諧波振盪器。

相空間是一個圓的圓周。

能量與圓的半徑成比例。

圓周。

微狀態的數量。

所以S = -log（E）* c。

那為什麼這麼重要呢？

因為如果我們使用兩個諧波振盪器，那麼熵變成加性的（廣泛的）。

那為什麼這麼重要？

概率。獨立系統的對數似然性是可加的。

因此，在這種情況下，物理獨立性和概率獨立性是相同的。

因此，統計學物理學有可能“完成”。

這與接受的答案的陳述不同。從信息論的角度來看。

為什麼獨立如此重要？

描述相空間甚至運動的算法的Kolmogorov複雜度是可加的。因此它是最佳的。從奧卡姆剃刀的意義上來說。

因此，漢密爾頓形式主義是創建描述獨立系統的理論的最佳方法。

從這個角度來看，很容易看出擾動理論是有效的。

如果一個子系統的能量變化很小（微擾），則相空間不會變得很大，因此要存儲的用於描述被擾動系統的信息不會太多，因為相空間的大小會變化不大。

因此，這種信息理論方法直觀地解釋了擾動理論為何“起作用”。

此外，由此得出E = mc ^ 2（直到一個常數）。 E = mc ^ 2只是表示如果一個振盪器消失了，那麼它的相空間也消失了，能量被轉移到了另一個振盪器上，因此信息得以保留。 E = mc ^ 2是“簡單地”關於信息的保存。沒有哈密頓量的概念，該方程和相應的信息守恆將不存在。

因此，漢密爾頓方程很重要，因為它使得可以獨立於信息理論（遵循概率論）框架的獨立系統進行處理，正如在第一個答案的第一點所暗示的那樣。統計力學就是基於此。同樣，熱力學在能量的概念中將不存在。由於獨立系統通過其能量來描述，這些能量是廣泛的，可加的。

所以沒有能量就沒有熵，信息，相空間，E = mc ^ 2。

為什麼？沒有能源，孤立的系統之間就沒有獨立性。

為什麼錯了？描述獨立系統的理論（算法）具有加性Kolmogorov複雜性。沒有能源理論的概念就不會具有這種特性，因此就不會服從奧卡姆的剃刀，因此不必要地會比需要的複雜。會不太正確。

在所羅門諾夫（solomonoff）的理論框架中，該陳述是合理的。

在算法信息論中（Leibniz，Kolmogorov，Chaitin），有一個概念，“優雅的程序”。這些是可以生成給定二進制序列的最小程序。我們可以用物理學或任何其他公理理論進行類比（Chaitin已經研究過這種類比）。拉格朗日，漢密爾頓形式主義（具有最小作用原理）代表了一個最小的數學框架，可以解釋從物理所有領域（從QFT到GR）的大量實驗數據。不幸的是，在算法信息論中，證明程序是“優雅的”並不是一個小問題。按照這個比喻，拉格朗日/漢密爾頓形式主義是否是最好的選擇，這不是一個小問題。要回答您的問題，關鍵是“優雅”或極簡（需要數學公理/原理）。