諧波振盪器之所以重要，是因為它是勢能最小的幾乎每個系統的一種近似解決方案。

原因在於泰勒展開。考慮一個具有$ U（x）$給定的勢能的系統。您可以將$ U $近似為$ x = x_0 $ by $$ U（x）= U（x_0）+（x-x_0）\ left。\ frac {dU} {dx} \ right | __ {x_0} + \ frac {（x-x_0）^ 2} {2！} \ left。\ frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ cdots $$系統將傾向於適應配置其中$ U（x）$最​​小---但根據定義，這就是一階導數$ dU / dx = 0 $消失的地方。同樣，勢能的恆定偏移通常不會影響物理。這樣我們得到$$ U（x）= \ frac {（x-x_0）^ 2} {2！} \ left。\ frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \數學運算O（x-x_0）^ 3 \ approx \ frac12 k（x-x_0）^ 2 $$，這是在$ x_0 $附近發生小振蕩的諧波振盪器電勢。

首先，請注意，物理學中“諧波”振盪器的化身不止一個，因此在研究其重要性之前，弄清它的含義可能是有益的。

什麼是諧波振盪器？

物理學中至少有兩個“ the”諧波振盪器的基本化身：經典諧波振盪器和量子 em>諧波振盪器。這些中的每一個都是數學事物，可用於根據上下文在精確或近似意義上對部分或全部某些物理系統進行建模。

經典版本封裝在下面的常微分方程（ODE）中，用於實變量的未知實值函數$ f $：\ begin {align} f' '=-\ omega ^ 2 f \ end {align}，此處的質數表示導數，而$ \ omega $是實數。 量子版本由希爾伯特空間上的運算符$ a $和其伴隨的$ a ^ \ dagger $：\ begin {align} [a，a ^ \ dagger]之間的以下換向關係封裝=I。\ end {align}目前尚不明顯，它們彼此之間有任何關係，但它們確實有關係，並且不破壞您的樂趣，我邀請您進一步研究如果您不熟悉量子原理諧波振盪器。通常，正如評論中所提到的，由於我們在此未解決的原因，$ a $和$ a ^ \ dagger $被稱為梯形運算符。

我能想到的諧波振蕩的每個化身。物理學歸結為理解這兩個數學事物之一與特定物理系統之間的精確或近似關係。

為什麼這些數學模型很重要？

在哪裡可以找到經典的諧波振盪器？

（這絕不是詳盡的列表，歡迎添加更多建議！）

1. 胡克定律彈簧上的質量 （經典！）。在這種情況下，經典諧波振盪器方程式描述了系統運動的 exact 方程。
2. 在許多（但不是全部）經典情況下，粒子在運動接近當地最低電位（如rob在他的回答中所寫）。在這種情況下，經典的諧波振盪器方程式描述了系統的近似動力學，前提是其運動沒有明顯偏離電位的局部最小值。
3. 耦合振盪器的經典系統 >。在這種情況下，如果耦合是線性的（例如當一堆質量通過胡克定律彈簧連接時），則可以使用線性代數魔術（特徵值和特徵向量）來確定係統的正常模式，每種模式的作用類似於單個經典諧波振盪器。這些正常模式隨後可用於解決系統的一般動力學問題。如果耦合是非線性的，則諧波振盪器將成為近似於平衡偏差的近似值。
4. 傅立葉分析和PDE 。回想一下傅立葉級數，它代表整個實線上的周期函數或有限區間上的函數，並且傅里葉變換是使用正弦和余弦構造的，並且集合$ \ {\ sin，\ cos \} $構成了基礎經典諧波振盪器方程的解空間。從這個意義上講，每當您使用傅里葉分析進行信號處理或求解PDE時，您都只是在強大的類固醇上使用經典的諧波振盪器。
5. 經典電動力學。這實際上落在了最後一點，因為電磁波來自求解麥克斯韋方程組，在某些情況下會產生可以使用傅立葉分析法求解的波動方程。
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在哪裡找到量子諧波振盪器？

1. 採用上述任何物理系統，請考慮該系統的量子力學版本，然後所得系統將由量子諧波振盪器控制。例如，想像一個小型系統，其中的粒子被二次方俘獲。如果系統足夠小，則量子效應將占主導地位，並且將需要量子諧波振盪器來準確描述其動力學。
2. 晶格振動和聲子。 （在應用於耦合振盪器的大型系統時，我在第1點中所斷言的一個例子。
3. 量子場。這也許是這兩者中最基本，最重要的一項事實證明，我們目前擁有的最基本的物理模型，即粒子物理學的標準模型，最終是基於對經典場（例如電磁場）進行量化，並意識到粒子基本上只是從這些場的激發中出現的，而這些激發在數學上被建模為耦合量子諧波振盪器的無限系統。
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諧波振盪器很常見

它在許多日常示例中都出現：擺錘，彈簧，電子設備（例如 RLC電路），弦上的駐波等。設置這些現象的演示很簡單，我們會不斷看到它們。

諧波振盪器很直觀

我們可以想像作用在這樣的系統上如擺錘或彈撥弦。這使得在教室裡學習變得簡單。相比之下，有許多“日常”的例子 都不直觀，例如臭名昭​​著的伯努利效應通過向下吹空氣舉起磁盤舉起磁盤 em>。這些悖論是很大的難題，但它們會使（大多數）初學者感到困惑。

諧波振盪器在數學上很簡單

數學是物理學的一部分。在研究簡單諧波運動時，學生可以立即使用描述其諧波的公式。這些公式是可以理解的：例如，頻率方程顯示了直觀的結果，即增加彈簧剛度會增加頻率。在更高的水平上，學生可以從第一原理導出方程式。如此輕鬆地解決現實生活中問題的能力清楚地證明了物理學是如何使用數學的。

工程方面的好處也很大。許多系統，甚至是非常複雜的系統，都是線性的。複雜的線性系統充當多個諧波振盪器。例如，固定弦會以其基本倍數的頻率自然振動。琴弦的任何運動都可以表示為每個分量振動的總和，每個分量與其他分量無關。這個 superposition 允許我們建模諸如拔弦之類的事情。 圓形板，吉他室，摩天大樓，無線電天線，甚至分子都更加複雜。但是，線性系統理論中的疊加和其他工具仍然允許我們在計算中採用 mass 捷徑並信任結果。這些計算方法也為線性代數和微分方程的主題提供了很好的教學工具。

因為諧波振盪器是一個熟悉的系統，與數學，科學和工程學的基本主題緊密相連，因此它是一個最廣泛研究和理解的系統。

其他答案已經涵蓋了許多最重要的方面。 一種有趣的應用是找出諧波振盪器的形式如何與高斯分佈（正態分佈）聯繫起來，這是另一種經常使用的數學構造。我可能已經在joshphysics的列表中提出了這個建議，但是由於需要一些細節才能體會，因此決定將其作為一個獨立的答案（但這實際上是引人注目的評論）。

拿$ N $個獨立隨機變量$ X_i $，每個變量具有方差$ \ sigma $，為簡單起見，均表示$ 0 $。現在，任意概率分佈$ P_X $的特徵函數為$ G_X（k）= \ langle e ^ {ikX} \ rangle = \ int e ^ {ikx} P_X（x）\ mathrm {d} x $。寫出泰勒級數中的指數（這裡我們除掉所有二次項之後的所有項）$ e ^ {ikx} \ approx 1 + ixk-\ frac {1} {2} x ^ 2k ^ 2 $，我們得到$ G_X （k）\ approx 1-\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2 $。

現在定義一個新的隨機變量$ Z = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ N X_i} {\ sqrt {N}} $，因此$ G_Z（k）= \ left（G_X \ left（\ frac {k} {\ sqrt {N}} \ right）\ right）^ N \ approx \ left（1-\ frac {\ sigma ^ 2k ^ 2} {2N} \ right）^ N $和作為$ N \ to \ infty $（總和中的所有高階項），根據定義，我們有$ G_Z（k）= e ^ {-\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2} $ ，然後給出高斯分佈$$ P_Z（z）= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ 2}} e ^ {-\ frac {z ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} } $$

這是對中心極限定理的簡單推導，它在科學的幾個領域都非常重要，而且可能是統計學的最基本結果。

請注意，在推導中，所有高階項都掉了（作為$ N \ to \ infty $），而剩下的唯一項是二次諧波項。這種情況經常發生在不同領域的應用程序中，但是我不能真正指出為什麼要這麼做的根本原因。

我認為羅伯的答案幾乎是包容和真實的。我只想添加一些東西。如果通過泰勒級數展開勢，則二階導數將在點$ x_0 $處尋找切線向量，該點是曲線的最小點，因此為零。因此，我們有一個形式為$ \ frac {1} {2} k（x-x_0）^ 2 $的電勢，已將x的原點移到$ x_0 $的位置。因此，我們可以將電勢曲線近似為拋物線。這使得諧波振盪器對物理學很重要。