也許您正在可視化電子流，就好像它是一系列快照一樣，定時以使快照看起來都一樣。不僅如此。運動電子的波函數與靜止電子的波函數不同：它包含一個非零速度相關分量。正是這種增加的成分（即使在載流導線中的電子“快照”中也始終存在）等同於電荷運動，因此就等於電流。

在量子力學中，存在所謂的概率電流。它描述了概率密度如何從一個地方流到另一個地方。電流只是概率電流乘以電荷。另請參見此 wiki頁面。如果您強加這種可能性是保守的 $$ \ frac d {dt} \ int \ psi（x，t）^ * \ psi（x，t）\，\ text {d} x = 0 $$ 跨度> 那麼您可以導出 $ ^ \ dagger $ span> $$ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ frac {\ partial j} {\ partial x} = 0。$$ span> 這裡 $ \ rho = | \ psi | ^ 2 $ span>是概率密度，而 $ j $ span>是概率密度概率電流。最後一個方程式是一個連續性方程式，它告訴您，如果某個點的密度增加，則意味著它已經通過電流從那裡從相鄰的位置移動了。如果執行計算，您將得到 $$ j = \ frac {\ hbar} {2mi} \ left（\ psi ^ * \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x }-\ psi \ frac {\ partial \ psi ^ *} {\ partial x} \ right）$$ span>

讓我們看一個平面波 $$ \ psi（x，t）= Ae ^ {i（kx- \ omega t）} $$ span> 電流變成 $$ j = | A | ^ 2 \ frac {\ hbar k} {m} = \ rho \ frac p m = \ rho v $$ span> 即使對於平面波，在各處仍然存在相同的密度。密度是恆定的，但相位編碼粒子的運動。

$ ^ \ dagger $ span>要進行此計算，請先使用乘積規則，然後使用 $ \ frac {d} { dt} \ psi = \ frac {1} {i \ hbar} \ hat H \ psi = \ frac 1 {i \ hbar} \ left（-\ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial x ^ 2} + V（x）\ psi \ right）$ span>，最後進行部分積分。

在跳躍模型中，在沒有外部場的情況下，左跳躍和右跳躍是等概率的。但是一旦應用了外部磁場，這種對稱性就被打破了。這樣就產生了電流。

“流”發生之前和之後的系統狀態是完全相同的。

您忘記了波函數很複雜。 動量在 $ \ psi（x）$ span>

例如 span>的附加相位因子 $ e ^ {ik_0x} $ span>賦予動量 $ \ hbar k_0 $ span>。>

因此，沒有電流的波函數與有電流的波函數是有區別的。 例如。後者的傅立葉變換將通過 $ k_0 $ span>進行移位。

在許多粒子波函數的情況下這不會改變

水分子是完全一樣的（不包括同位素，對於硝蟲來說是這樣），那麼我們怎麼說水的流動呢？

對於電子，可以考慮使用舊的CRT顯示器*。它的工作原理是通過真空將來自電極的電子束髮送到管子表面的熒光粉上。這些電子必須流過真空，不是嗎？那些電子一定以某種方式到達了電極，但是除了流過導線之外，還有什麼其他方式？

*或依賴於通過真空發送電子的任何其他設備：真空管，電子顯微鏡，電子束加工，&c。

我想快速解決一個謬論，我認為這個問題的標題中潛伏著一個隱患，即“如果電子是identical和indistinguishable”：而從我們的角度來看，每個電子可能是“相同且不可區分的”不同的實體，如果我們的工具允許，我們可以（假設）區分它們。

您可以通過考慮在真空中兩個電子系統的最簡單情況來消除對量子力學中相同粒子的困惑（導線不是您困惑的必要部分）。我們通常將這種量子態描述為由一個以位置 $ x_1 $ span>為中心的波包和以 $ p_1 $ ，第二個wavepacket以位置 $ x_2 $ span>為中心，動量以 $ p_2 $ span>（必須構造波包，以免違反海森堡的不確定性原則。那麼，將這兩個電子系統視為兩個不同的粒子是沒有意義的（我們應該形成這兩個波包的對稱組合以數學方式表示這一點）。

但是我們可以根據薛定inger方程研究該系統的演化。然後我們發現它符合我們的電子運動直覺：我們為量子態選擇的動量值越大，波包的位置隨時間變化的越快。換句話說，相同粒子的多電子系統會根據系統的動量而運動，從而產生電流。

取一根直徑約1.25英寸（3厘米）的管，也許是一個塑料廢管。在上端安裝一個合適的漏斗，並用相同的乒乓球或高爾夫球填充。觀察球滾落到管的頂端並從底部滾出。

說球不是不是在管中移動是不是有道理？

現在，在浴缸中蘸些水而不是水試試。觀察水浪從一端流向另一端。問你自己同樣的問題。

另一個比喻是在超市中的封鎖隊列：個體在一端離開而在另一端聚在一起，每個人都站在指定的地點，並週期性地以動作的波動向前移動。

與電子等效的方法是給Van de Graaf發生器充電並使其接觸導線。在另一端附近放置一個帶相反電荷的金箔驗電器。發電機電壓穩定下降，輝光放電出現在電線的另一端，電子顯微鏡也放電。現在嘗試論證沒有電子沿著電線從發生器到驗電器的方向流動。

一個電子與另一個電子的不可區分性是由守恆定律引起的數學對稱性（對稱性與守恆定律之間的一般對應關係大約是在一個世紀前由數學家Emmy Noethe提出的）。它不是本體論的。同樣，同卵雙胞胎是無法區分的，但他們不是同一個人。 Wheeler和Feynman曾經考慮過這樣的觀點，即所有電子和所有正電子都是一個單個粒子在時間上來回振蕩的真實表現，但是觀察到的正電子的稀缺性扼殺了這個想法。

也許問題在於採用QM概念（電子是無法區分的），同時保持經典的直覺（電子是移動的小球）。

導體的QM模型是價電子的可用狀態帶。這個概念取代了單個原子的軌道，因為在這裡它們與晶格的原子“共享”。

它們從最低的能量向上填充狀態，並且每個狀態對應一個動量。

在沒有電場的情況下，動量的分佈是平衡的，但是電場的作用是破壞對稱性。現在，在電場方向上出現了淨動量。電子速度的期望值定義為： $$ \ langle \ mathbf v \ rangle = \ frac {\ langle \ mathbf p \ rangle} {m} $$ span>