質心

均勻球體/圓盤的質心位於該球體/圓盤的中心（這聽起來可能是微不足道的，但這僅適用於質量分佈為球對稱的情況）。質心可以看作是整個點的整體表示（請注意，這並不是嚴格意義上的事實，但出於我們的目的，它將有助於建立一些基本的直覺）。同樣，均勻的立方體/正方形板的質心在立方體/正方形板的中心。

引力勢能

物體的重力勢能由

$$ U = mg（h _ {\ text {COM}}）\ tag {1} $$ span>

其中 $ m $ span>是身體的質量， $ g $ span>是重力加速度， $ h _ {\ text {COM}} $ span>是質心的高度。在方程式 $（1）$ span>中，我們假設勢能在地面上為 $ 0 $ span>即 $ h _ {\ text {COM}} = 0 $ span>。現在，舉起一個物體使其重心從高度 $ h_1 $ span>移至高度 $ h_2 $ ，我們需要做一些等同於身體勢能變化的工作：

$$ W = \ Delta U = mg（h_2-h_1）$$ span>

滾動廣場

正如您在下面的GIF中所看到的，滾動方塊具有一種不穩定的旋轉運動。從質心的中心向上，向下，向上和向下，然後繼續向上的角度來說，都是顫抖的。

^{動畫源 sup>}

因此，如上所述，我們需要做一些工作以提高正方形質心的高度（有一個特定的角度， $ 45 ^ {\ circ} $ 在這種情況下，如果要滾動它，直到需要旋轉正方形為止；如果將正方形旋轉的角度小於該角度，則正方形會後退。質心一旦達到最大高度，它就會自行下落到另一側，並且由於正方形與物體碰撞的非彈性性質，正方形在跌落過程中獲得的動能以聲能和熱能的形式消散。地面。現在，您將不得不再次提高正方形的質心以使其滾動。這個過程不斷地涉及給予能量以提高質心，然後由於平方回落到地面而失去能量。這使得正方形很難滾動。

為什麼會發生非彈性碰撞？

與圓形圓盤相比，由於與地面接觸的表面較大，與非圓盤相比，方形容易失去更多的能量。這類似於自行車輪胎的情況。當輪胎充氣時，它是球形的，因此與地面的接觸較小，從而減少了能量損失，而放氣的輪胎與地面的接觸面積較大，這使得輪胎更容易發生非彈性碰撞。 >

滾動圈

當圓/球滾動時，由於形狀的對稱性，質心的高度在整個運動中保持不變。您還可以在下面的GIF中看到這一點。

^{動畫源 sup>}

這意味著我們提供的任何能量都不會浪費在改變質心的高度上。而且所有的能量都被用於加速球體/圓的運動，這使我們感到容易滾動得更快。

為什麼其質心保持在相同的高度？

為嚴格起見，讓我們證明圓是唯一具有其質心在滾動時保持在相同高度的2D形狀。首先，我們假設存在另一個具有此屬性的形狀（不是圓形）。這意味著無論您如何將該形狀放在地面上（當然，我們不能只是將其平放），重心將始終保持恆定的高度。這意味著地面與質心之間的距離將始終相同。這意味著與地面接觸的邊界點和質心之間的距離將始終相同。但是，對於所有邊界點都是如此，因為可以使所有邊界點都接觸地面（同樣，我們假設是凸形的）。這意味著所有邊界點到質心的距離都相同。這意味著邊界點位於以身體的質心為中心的圓上。因此，所需的形狀只能是圓盤。

慣性矩

慣性矩在這裡也可以發揮作用。可以看出，對於任何2D形狀的給定恆定面積，圓盤的慣性矩最低（假定所有形狀均由相同的材料/密度製成）。這意味著滾動圓盤比任何其他2D形狀都容易一些。類似的論點適用於3D形狀，但是，在此我們將在改變形狀的同時保持體積（面積的3D模擬）恆定。但是從理論上講，具有無限小的半徑和無限大的長度的圓柱將具有最低的慣性矩。

附錄

對於特殊表面，您甚至可以使正方形旋轉成球形。請參見下面的GIF。

^{動畫源 sup>}

如您所見，如果我們使用由倒置的懸垂曲線組成的曲面，我們甚至可以製作一個正方形的捲。要了解為什麼如此，您可以在此處推導。

此外，正如這個答案所建議的，恆定寬度的曲線在滾動時也是不錯的選擇。因此嚴格來說，圓形不是唯一可以在平面上滾動的形狀。但是，滾動時比正方形好得多。

在理想的防滑條件下，初次踢球或推球後，球始終保持滾動狀態。滾動之後，您不需要施加外力，也不需要任何外部能量。

該塊無法繼續滾動。為了使其旋轉，您需要通過 $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2} a $ span>（ $ a $ span>是邊的長度），這需要 $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2 } mga span>能量。將其旋轉45度後，它可以向另一側翻倒，再移動45度。當障礙物撞到地面時，它的動能變成了熱能，需要再次舉起。

您如何比較無限和有限？您如何比較有限和無？

假設我有這些大小相等的對象...

第一個反問：“相等大小”是什麼意思？

• 圓的直徑與正方形的邊長相同
• 正方形和圓形具有相同的面積

數學證明圓形物體滾動得更快

即使在沒有任何碰撞的前90度（請參閱David Browne的答案），圓圈也會更快：

我們假設正方形的邊長為 $ a $ span>。

然後，正方形圍繞其邊緣旋轉的慣性矩為：

$$ J =（\ frac16 + \ frac12）ma ^ 2 $$ span>

正方形旋轉角度 $ \ alpha $ span>所需的時間現在可以計算為：

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ alpha J} {M} = \ frac {4 \ alpha ma ^ 2} {3 M} $$ span >

這些符號具有以下含義：

$$ \ begin {array} {ll} \ alpha & \ text {旋轉角度} \\ J & \ text {慣性矩} \\ M & \ text {Torque} \\ m & \ text {正方形的質量} \\ & \ text {正方形的邊長} \\ t & \ text {旋轉所需的時間} \ end {array} $$ span>

讓我們只看旋轉90度所需的時間-這意味著正方形移動距離 $ a $ span>：

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ pi} {3} \ frac {ma ^ 2} {M} $$ span>

現在讓我們看一下與正方形面積相同的圓：

這意味著該圓的半徑為 $ r = \ frac {a} {\ sqrt \ pi} $ span>。

慣性矩為 $ J = \ frac32mr ^ 2 = \ frac3 {2 \ pi} ma ^ 2 $ span>。圓必須旋轉 $ \ alpha = \ sqrt \ pi $ span>的角度才能移動 $ a $ panspan>。

所以移動 $ a $ span>所需的時間是：

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ alpha J} {M} = \ frac3 {\ sqrt {\ pi}} \ frac {ma ^ 2} {M} $$ span>

現在我們可以比較所需的時間：

$$ \ frac3 {\ sqrt {\ pi}} < \ frac {2 \ pi} {3} $$ span>

這意味著圓圈需要更少的時間來滾動 $ a $ span>的距離。

從數學上講，圓形是相對於封閉區域最小周長的唯一形狀。因此，由於它每次旋轉都經過等於其周長的距離，因此與任何其他形狀相比，旋轉所花費的時間更少。

加上軸從不上下移動的事實，這意味著它需要的力最小（在理想的情況下）。

圓形物體不是最快。

例如，使用三葉形。（或其他任何光滑的凸形。）

以該Wikipedia頁面上顯示的方向啟動它。這是其質心最高的方向。然後，由於其某些勢能已轉換為動能，因此它的滾動速度通常會比圓圈快。只有在其質心恢復到原始高度的那些時刻，它的移動速度才與圓一樣慢。

即使您將正方形的示例替換為圓形，但如果將平坦的側面替換為稍微鼓鼓的側面並稍稍將圓角倒圓，然後將其旋轉45°，則它也開始“立於角落”。

造成的圓形和正方形之間存在兩個差異。第一個是慣性矩。在自由空間中，正方形和車輪上的給定扭矩不會獲得相同的角加速度。公式為：扭矩=轉動慣量X角加速度。慣性矩可以計算出來，也可以在表格中找到。

但是，兩個輪子之間存在差異的主要原因是，當您從圍繞一個頂點旋轉到另一個頂點旋轉時，將方形輪胎粉碎成一個巨大的能量損失每次鋪設時地面都平行於地面。然後，動量和反彈將其帶入下一個頂點旋轉。

如果您暫時忘記外部扭矩並考慮切換旋轉點時會發生什麼，您將發現基本上需要拍攝一個物體，其質心沿對角線向下移動並向前移動。質心向上移動。為此，您需要在接觸點施加力，以減小方形齒輪的向前動量。問題在於，任何精確的解決方案都將取決於從圍繞一個頂點旋轉到另一個頂點的過渡如何發生的許多假設。每個假設都會給您不同的答案。沒有“通用”答案。這取決於輪胎的性能。

一個現實的解決方案可能需要有限元建模，以查看輪胎在撞擊地面時如何變形，如果輪胎是由橡膠製成的，則可能會由於滯後而導致能量損失。但是，即使對於剛硬的車輪，也會失去一些動力。

一種可行的方法是假設有一個係數描述當您著地時在每個“步驟”中損失了多少能量。出於您的目的，可能不需要根據第一原理計算該係數。

在Kirk的Mcdonald中可以找到所有這些的很好的討論。（2008）。在一個斜面上滾動的六角鉛筆。正則和混沌動力學。13. 332-343。10.1134 / S1560354708040072。作者似乎可以在 http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/pencil.pdf上免費獲得它。它主要涉及六邊形，但其他形狀也已處理，主要概念保持不變。

順便說一句，我不知道您是否受此啟發，但是神話剋星（Mythbusters）做的是方形輪子。 https://www.youtube.com/watch?v=CIN8Q_4iaxU目前可以使用，但是合適的Google搜索可以揭示如果鏈接斷開了會發生什麼情況。

忽略能量損失，我們將圓和正方形分別放在單獨的傾斜平麵線上，其質心在水平地面上方相等的高度。正方形位於其一側，並且兩條線的傾斜角度（這是即將出現的角度的參考線）為 $ \ frac {1} {4} \ pi $ span>（或稍稍超過它）。

當力（在這種情況下由重力提供，並且車輪和正方形的力均相同）時，比較由重力場中的直線支撐的2d正方形和2d輪子的線速度：指向與傾斜線平行的值 $ \ sqrt {\ frac {1} {2}} \ times 10 = 7N $ span>），這是很合理的我們假設正方形和輪子的質量相等， $ m $ span>（和質量密度）。此條件意味著正方形的每一邊 $ S_s $ span>是 $ \ sqrt {\ pi} $ span >乘以車輪半徑 $ R_w $ span>。即 $ S_s = \ sqrt {\ pi} R_w $ span>。正方形對角線的一半 $ D $ span>的值為 $ D = \ sqrt {\ frac {1} {2 } \ pi} R_w $ span>。

有用的公式：

車輪和正方形的慣性動量（正方形圍繞垂直於其角度點之一的軸旋轉，而正方形圍繞接觸的瞬時點旋轉，因此我們可以使用平行軸定理）：
$ I_w =（\ frac {1} 2 + 1）m {R_w} ^ 2 = \ frac {3} {2} m {R_w} ^ 2 $ span> $ I_s =（\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}）m {S_s} ^ 2 =（\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}）\ pi m {R_w} ^ 2 $ span>

車輪和正方形的扭矩（拉動車輪和正方形CM的重力）：
$ \ vec {\ tau} _w =-\ vec {F_g} \ times \ vec {R_w} $ span>均為 $ -\ vec {F_g} $ span>和 $ \ vec {R_w} $ span>從它們所在的線和車輪之間的接觸點開始，並且始終彼此垂直。 （偽）向量 $ \ vec {\ tau} _w $ span>指向屏幕，其長度為 $ 7mR_w $ 。
$ \ vec {\ tau} _s =-\ vec {F_g} \ times \ vec {D} $ span>，其中 $ -\ vec {F_g} $ span>和 $ \ vec {D} $ span>從正方形和直線之間的接觸點開始。在這種情況下，兩個向量之間的夾角 $ \ theta $ span>在兩個夾角之間 $ \ frac {1} { 4} \ pi $ span>和 $ \ frac {3} {4} \ pi $ span>。再次，扭矩（偽）矢量指向屏幕，其長度為 $ 7m \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w sin \ theta $ span> 。 $ sin \ theta $ span>在角度 $ \ frac {1} {4} \ pi $ span之間的積分>並且角度 $ \ frac {3} {4} \ pi $ span>是 $ 1,4 $ span>，扭矩降低到 $ 7m \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w 1,4 $ span>。
因此，施加在平方 $ {\ tau} _s $ span>上的扭矩約為 $ 1,75 = 1,25（= \ sqrt {{\ frac {1} {2}} {\ pi}}）\次1,4 $ span>等於車輪上的扭矩 $ {\ tau } _w $ span>： $ {\ tau} _s = 1,75 {\ tau} _w $ span>

現在， $ I_s = 3,6I_w $ span>

因此對於車輪和正方形的角加速度值，我們有：
1） $ {\ omega}'_ w = \ frac {\ tau_w} {I_w} $ span>
2） $ {\ omega}'_ s = \ frac {1,75 \ tau_w} {3,61 {I_w}} = 0,48 {\ frac {{\ tau} _w } {I_w}} $ span>

圓圈和正方形都由某種設備放置（您可以自己考慮如何製作），然後按一下按鈕即可釋放它們。這是必要的，因為很明顯，當線稍微傾斜一點時，圓已經開始移動了。水平線。

現在按下按鈕。正方形的質心將像上面第一個答案所示的懸鏈曲線一樣移動（帶有一些漂亮的圖形），不同之處在於懸鏈曲線與水平方向成45度角，因此質量永遠不會上升。它在半徑為 $ \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} $ span>的圓的圓周上移動45度（半徑為對角線的一半）正方形）在水平0度和向下45度（平行於傾斜線）之間。之後，同一個圓圈的四分之一會重複。

很明顯，當我們比較上方的車輪（上面的方程式1）和具有相同質量的方形（方程式2）的角加速度時，車輪的角加速度幾乎是其兩倍。像正方形一樣大，因此輪子首先到達直線下方。
汽車使用車輪而不是正方形，因為車輪具有一定的形式，可以在相同的扭矩下提供最高的角速度。因此，通過某種轉換機制給出汽車線速度的最簡單方法。要達到一定的速度，帶輪汽車需要更少的燃料。

我非常喜歡FakeMod和LukeLYU的回复。這是一個擴展和概括。

讓我們堅持理想的形狀，並假設除了開始運動所需的能量以外沒有其他能量輸入。

將正方形抬高以站在其角上時，不會會自動繼續滾動。它必須使用一些能量才能移動到該點之外，這是因為該拐角是與PE中的彎曲點（穩態平衡）相對應的特殊點。該勢能曲線將具有一系列諸如方形卷的點。通過對稱性，對於均勻的身體，在“接近”局部極值的電位曲線形狀相同的意義上，所有這些彎曲點都是等效的。

類似地，要使平坦的表面繼續滾動，則必須消耗能量才能繼續傳遞能量，並且當能量通過每個點時，能量會散失（只有此處的潛在損失更深），PE會因此降低，減慢並最終停止廣場不再移動。

對於一個圓，沒有這樣的拐點。表面上的所有點都是等價的，並且由於沒有特殊點，因此沒有極值。一旦開始軋製，它將繼續軋製而沒有任何額外的作用力。 （牛頓1）

我們可以將此參數擴展到多邊形。將每個角的倒角量相等，然後不僅每個頂點都對應一個拐點，我們創建的每個新平面也是如此。同樣是對稱的，但是在每個彎曲點都失去了能量，但是會更快地失去能量。

[如果繼續執行此過程，則會引起噁心，但是您不會出現圈！由於代表一個圓的平移的組是連續的SO（2），而代表一個n形的平移的組是有限的（D2n），因此無法獲得相同的動力學。]

通過使用類似的參數，我們可以考慮n維類似物，但我們必須小心：例如3D圓柱體具有首選軸（其長度），並且在這個意義上不是圓的類似物，但是3-球具有並且將具有相似的動力學，因為它沒有連續的對稱性。

您的問題沒有關於我假設存在的引力場或其他潛在場的任何內容。如果沒有這樣的領域並且沒有損失，那麼您的對象當然會永遠滾動。

物體移動的速度當然取決於所施加的脈衝。但是，即使在無摩擦的情況下，也具有勢場，由於PE的損耗，所有n形子都會失去能量並靜止。

到目前為止，有一個我認為沒有人提及的因素。有人指出，隨著正方形旋轉，它上下擺動。當向上移動時，力由驅動它的扭矩提供。加速正方形向上所需的力將取決於其旋轉速度。旋轉速度越快，所需的力就越大。當向上移動時，我們可以假定該力可以由驅動旋轉的扭矩提供。但是，當向下移動時，力由重力提供。這顯然受到重力常數的限制。因此，隨著正方形旋轉得更快，重力會不足以使其與地面保持接觸。在這一點上，正方形上的扭矩將不再轉換為向前運動。因此，超過此限制，即使假設沒有因非彈性碰撞而造成的損失，圓形齒輪也會更快地加速。

如果您允許像Wankle發動機這樣的偏心星形齒輪輪轂，則兩者都不會具有移動的質心。由於負載不均勻（與Wankle發動機密封件相同），方形會磨損得更快。

我認為在理想條件下，正方形和圓形以相同的速度滾動。其原因是，在現實生活中，由於摩擦原因，圓的滾動速度會比正方形快：正方形的動能由於其形狀而變為熱能，因此會比圓的能量損失得更快。但是在完美的條件下，沒有摩擦，沒有任何理由使正方形滾動的速度比圓的慢，除非施加到其上的能量小於所需的能量（使它翻轉45度），但是如果不是這樣，勢能將永遠變成動能，反之亦然，直到永遠不規則移動正方形，而是平均等於圓。我認為這個問題是直覺性的問題，即在“完美條件”下事物如何發生，就像兩個物體在沒有空氣摩擦的情況下以相同的速度下落一樣。