一個朋友給我提供了一個腦筋急轉彎，解決方案涉及一個195美元磅的人，他用兩個3磅磅的球玩雜耍，穿過一個最大容量僅為200磅磅的橋。他解釋說，由於該人一次只能拿一個3美元的物體，所以在任何給定時刻的最大總重量僅為195美元+ 3 = 198美元，橋將保持住。
我通過解釋說糾正和糾正他的舉動是暫時的使球變得“重”（由於投擲或接球時動量的變化，球對我和我施加了額外的力到橋上球，但承認輕柔的擲/接住（較少的加速度）可能會導致橋上的力永遠無法達到人和兩個球的總重量。
橋能承受人還有他的球？
假設您以一定速度$ v $向上擲球。那麼它花在空中的時間就是：
$$ t _ {\ text {air}} = 2 \ frac {v} {g} $$
其中$ g $是由於重力引起的加速度。當您接住球時，將其握在手中$ t _ {\ text {hand}} $一段時間，在此期間，您必須對其施加足夠的加速度，以使球從$ v $的下降速度向下緩慢移動，以向上的速度$ v $向上扔回去：
$$ t _ {\ text {hand}} = 2 \ frac {v} {a-g} $$
請注意，我將加速度寫為$ a-g $，因為您必須至少應用$ g $的加速度才能阻止球向下加速。您必須應用的加速度$ a $是$ g $，外加額外的加速度來使球向上加速。
您希望手掌中的時間盡可能長，以便可以使用盡可能少的加速度盡可能。但是$ t _ {\ text {hand}} $不能大於$ t _ {\ text {air}} $，否則在一段時間內您將兩個球都握住。如果要確保一次只握一個球，則可以做的最好的就是使$ t _ {\ text {hand}} $ = $ t _ {\ text {air}} $。如果從上方用$ t _ {\ text {hand}} $和$ t _ {\ text {air}} $替換錶達式並將它們設置為相等，則得到：
$$ 2 \ frac {v } {g} = 2 \ frac {v} {a-g} $$
簡化為：
$$ a = 2g $$
因此，當您拿著一個3kg的球時，您對其施加了$ 2g $的加速度，因此，您對球施加的力為$ 2 \乘以3 = 6 $ kg。
這句話說，當您用兩個最小的力對兩個球進行雜耍時，作用在橋上的力與您剛拿著兩個球越過橋的力完全一樣，很可能會被弄濕！
我喜歡這類問題，作為均值定理的絕妙物理例子。請允許我描述一個符合以下條件的具體情況：
基於這些相對簡單的假設，我將聲稱平均法向力（地面向上施加的力）等於系統的重量。換句話說，對於給定的$ T $時間段，我們有：
$$ mg = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T \ vec {F}（t） \ cdot \ vec {n} dt $$
這實際上是一個壯觀的聲明。為了簡化表示法，請考慮$ \ vec {F}（t）\ cdot \ vec {n} $等於秤將讀取的權重（根據秤的不同，這不是一個壞假設）。想像一下，那個人在玩雜耍，站在秤上，秤讀取的值取決於時間$ w（t）$。磅秤讀取的平均值等於重力乘以他的體重，包括他握著或穿著的所有物品。他每秒鐘重200磅磅，花費一秒鐘重202磅磅或類似的東西。關鍵是平均值相同。
放一個球。穿過對方。回去，得到第二個球。
或者，將兩個球滾動過去，然後追趕它們。
或者，魔術師脫下鞋子，赤腳行走。
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這是作為“非線性思維”問題解決的，而不是“雜耍是反重力的”問題。球閥系統必須以平均1磅的力向下加速，否則橋將斷裂。否則，您可以在蹺蹺板上由兩個雜耍者製造永久的運動機，這些雜耍者會輪流玩耍。如果可以的話，您也可以只握住球然後跑。）
為簡單起見，請考慮一下雜耍者有時會重複自己，即雜耍者和球（分別具有質量$ M $和$ 2m $）處於精確的相同運動狀態，時間分別為$ t_1 $和$ t_2 $ 。
將人+ 2個球作為系統，將橋等作為環境。
讓$ p（t）$為系統的總動量（垂直分量）。
牛頓第二定律適用於系統，得出：
$$ \ tag {1} \ dot {p}（t）〜=〜F_n（t）-F_g，$$
其中
$$ \ tag {2} F_g〜=〜（M + 2m）g，$$
以及$ F_n（t）$是來自橋的法向力，可能會隨著雜耍表演者的日常活動而變化$ t $。$ ^ 1 $
由於我們簡化了重複狀態的假設，因此我們有
$$ \ tag {3} 0〜=〜p（t_2）-p（t_1）〜=〜\ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n（t）dt-（t_2-t_1）F_g，$$
或
$$ \ tag {4} F_g〜=〜\ frac {1} {t_2-t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n（t）dt〜 =〜\ langle F_n \ rangle。 $$
但是，如果平均$ \ langle F_n \ rangle $為$ F_g $，那麼顯然在[t_1，t_2] $中至少有一個實例$ t_3 \，其中一個實例必須具有$ ^ 2 $
$$ \ tag {5} F_n（t_3）\ geq F_g。$$
換句話說，橋塌了。
$ ^ 1 $雜項演員可以採取他認為對自己的案子有利的任何行動。他是否想用雙腳離開橋跳，降低質量中心或跌倒取決於他。假定法向力$ F_n（t）$是時間[t_1，t_2] $中的時間tt的分段連續函數，在物理上似乎是合理的，並且只有有限的不連續點。在這種情況下，可以使用 Riemann積分定義積分 $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n（t）dt $，而無需涉及技術上更複雜的 Lebesgue積分。（還請注意，平均值定理不適用於不連續函數，從數學純粹主義者的角度來看，不需要平均值定理，即關鍵的等式（5）可能會以更基本的考慮來建立。）
$ ^ 2 $等式（5）的間接證明：假定
$$ \ tag {6} \ forall t \ in [t_1，t_2]：〜F_n（t）〜<〜 F_g。$$
然後
$$ \ tag {7} \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n（t）dt〜<〜（t_2-t_1）F_g， $$
如果我們假設分段連續性$ t \ mapsto F_n（t）$。但是等式（7）與等式（3）不一致。 QED。
這取決於他的手臂有多長!!（以及橋的長度有多長）如果他開始處於第一位置，雙臂高高舉起，並且在穿越時將-0.17G的球傳給他，他會成功的。
此外，他可以做一個魔術師的戲法，並逐漸降低他的重心！當他走過橋時。雜耍是可選的，分散了他們的實際注意力。他只需要以G *（1/201）加速就可以承受橋重，而不是201磅（195 + 6），而是200磅。如果他可以蹲下2英尺，我有5秒鐘的時間過橋。
1/2（0.16 ft / s ^ 2）t ^ 2 = 2 ftt = sqrt [4ft / （0.16ft）秒^ 2]
認為合理的假設是：“整個系統（人+球）在靜止時開始，在靜止時結束”。這樣我們就可以完全避免積分和處理時間。現在，讓我們考慮一下球的速度，並假裝他的手臂有無限的長度。我們每秒只能提供5磅的力=> 5/3 g 的加速度，儘管這可以分為兩個球。球的每個向下加速度為 g 或總體為 2g 。因此，向下的總加速度（可能是兩個球之間的總和）為g / 3，我們不能讓它們都靜止。最終讓他們倆都靜止的唯一方法是，如果我們被允許以6磅的重量代替5磅的重量（即與攜帶相同）
我認為，如果男人在踏上橋之前先將一個球扔向空中，那是可能的。在這種情況下，該人最初可以在一個球上施加4磅的力，然後踩在橋上。到那時，橋將重198磅。然後，該人可以在另一個球著陸之前以4磅的力向上加速另一個球。這意味著那時的橋將重199磅。當兩個球都在空中時，橋將保持195磅。然後，第一個球將落在該人的手中，該人將需要施加4磅的力以使其減速以使其靜止。在減速期間，橋樑將保持199磅的重量。減速後，橋將承受198磅的重量。然後該人越過橋時，可以用4磅的力重複向上加速球。
如果球的體積很大並且您已經計算出空氣阻力，則也可以這樣做。這樣一來，空氣將有助於使落下的球減速，但該男子仍必須在踩到橋上之前將其中一個球扔向空中。