這不是“不好的味道”，它是無法計算的，毫無意義。

尺寸分析的全部要點是，有些數量是彼此無法比較的：您無法確定一米是大於還是小於十安培，而試圖在十個開爾文中增加五個伏特只會產生無法操作的廢話。 （有關原因的詳細信息，請參見什麼理由使尺寸分析正確？及其右側邊欄中的許多鏈接重複項。）

這就是指數函數的本質：如果您想要一米的指數，那麼您需要能夠理解 $$ \ exp（1 \：\ rm m）= 1 +（1 \：\ rm m）+ \ frac12（1 \：\ rm m）^ 2 + \ frac {1} {3！}（1 \：\ rm m）^ 3 + \ cdots， $$ 這就要求您能夠將長度與面積，體積和其他位置冪相加並進行比較。您可以嘗試來修剪單位並對其進行處理，但請記住，它需要精確匹配 $$ \ exp（100 \：\ rm cm）= 1 +（100 \：\ rm cm）+ \ frac12（100 \：\ rm cm）^ 2 + \ frac {1} {3！}（100 \：\ rm cm cm）^ 3 + \ cdots， $$ 而且沒有不變的方法。

現在，要明確地說，問題要深得多：$ \ exp（1 \：\ rm m）$的真正問題在於，根本沒有有意義的方法來定義該方法，該方法將（i）不受單位制的限制；（ii）保留一組將真正為其贏得名稱的屬性。如果想要的是一種簡單明了的方式來查看它，那麼一個很好的角度是注意到，如果要為$ x $定義$ \ exp（x）$且具有非平凡的尺寸，那麼您會要求其他服從財產 $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ exp（x）= \ exp（x）， $$ 如果$ x $（因此$ \ mathrm d / \ mathrm dx $）不是無量綱的，則尺寸不一致。

在註釋中以及在已發表的論文中也已指出，只需設置$ f（x）= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n！} \ frac {\ mathrm d ^ nf} {\ mathrm dx ^ n}（0）x ^ n $，這是很正確的。但是，對於超越函數，我們不需要任何舊的泰勒級數，我們需要規範的序列：它們通常是函數的定義開頭，如果有人要提出$ \ sin（ x）$表示尺寸為$ x $的對象，那麼除非它可以鏈接回規範的泰勒級數，否則根本不值得使用該名稱。而且，如上所述，規範泰勒級數存在根本的縮放問題，導致它們死在水中。

也就是說，對於對數，您可以在某些非常特定的情況下討論維數$ q $的對數，但實際上，您要獲取一些代表性的$ q_0 $並進行計算 $$ \ log（q / q_0）= \ log（q）-\ log（q_0），$$ 在理解後者的情況下，您要求兩個值必須位於同一單位中，在這種情況下，最終答案與單位本身無關。如果情況還允許您降低加性常數，或將其添加到其他常數中（例如，在求解ODE時，例如，無限線電荷的靜電勢，或者當然後以$ log（q_0）$取代$ \ log（q_0）$，因為當您再次加點i時，它將沖洗掉。

但是，僅僅因為它可以在對數的特定情況下完成（這在將乘法常數轉換為加性常數方面是獨特的），並不意味著您可以在其他情況下使用它，而且您也不能。

正統視圖

有點正式的含義：$ \ exp x $可以表示為一個序列：

$$ \ exp x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2！} + \ frac {x ^ 3} {3！} + \ cdots + \ frac {x ^ n} {n！ } + \ cdots $$

因此，如果$ x $的單位為$ X $，那麼本系列的條款將使用相應的單位

$$ \ text {None}，X，X ^ 2，X ^ 3，\ cdots X ^ n，\ cdots $$

尺寸不一致。 $ \ ln $或任何解析函數（即可以按這樣的序列擴展的函數）的參數相同。這同樣適用於簡單的事情

$$ \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots。$$

實際上，甚至不需要整個系列。僅泰勒展開式的兩個項就足以迫使變量無量綱。例如，如果函數$ f（x）$像

$$ f（x）= x-x ^ 2 + O（x ^ 3），$$

因為$ x $變為0，例如，則$ x $不能具有尺寸$ X $，否則最終將增加$ X $和$ X ^ 2 $。當然，這也適用於漸近級數，例如

$$ f（x）= \ frac {1} {x ^ 2} + \ frac {2} {x ^ 3} + O \ left（\ frac {1} {x ^ 4} \ right）， $$

為$ x \ to + \ infty $。

圍繞正統遊戲

下面的論點呢？我將舉一個非常簡單的示例，根本不涉及任何序列，

$$ f（x）= x + x ^ 2。$$

上面的正統論點暗示$ x $應該是無量綱的。但是我要爭論的是，$ x $和$ x ^ 2 $的係數1實際上具有維度$ X ^ {-1} Y $和$ X ^ {-2} Y $，其中$ X $是$ x $的單位，然後$ Y $將成為$ f（x）$的單位。它使所有內容保持一致，不是嗎？是的，但這很可笑，因為這意味著我們實際上不是在處理$ f（x）$

$$ f_ \ text {pseudo}（x）= a \ left（\ frac {x} {x_0} + \ left（\ frac {x} {x_0} \ right）^ 2 \ right），$$

其中$ x_0 $的單位為$ X $，而$ a $的單位為$ Y $，也就是說

$$ f_ \ text {pseudo}（x）= af \ left（\ frac {x} {x_0} \ right）。$$

在這裡是：$ f $的參數確實是無量綱的！該論點推廣到任何系列。讓我們以指數為例進行說明：

$$ \ exp x = \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n！} x ^ n。$$

因此參數將是$ 1 / n！$實際上具有單位$ X ^ {-n} $。足夠公平，但是這意味著我們要處理$ exp>而不是$ \ exp $

$$ \ exp_ \ text {pseudo}（x）= a \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n！} \ left（\ frac {x} {x_0} \ right）^ n，$$

其中$ x_0 $的維數為$ X $，而現在$ 1 / n！$的維為無量綱，而$ a $的維數為$ Y $。就是說

$$ \ exp_ \ text {pseudo}（x）= a \ exp \ frac {x} {x_0}。$$

因此，我們最終得到$ \ exp $的參數是無量綱的。

我對這個小遊戲的內在看法：恩，,！所有這些，真的嗎？ 而且，正如Emilio Pisanty在評論中指出的那樣，它要求我們從天上拔出一個標度$ x_0 $（可能還有另一個標度$ a $）：維度分析的全部要點是，我們已經考慮了所有預先確定可能的尺寸數量。在此之後，我們再介紹一個事實，這對Emilio或我自己都沒有意義。

您的老師稱其為“不良品味”而不是完全錯誤的原因是因為人們將始終以對數的方式這樣做。對數是唯一的，因為它使您可以將乘法因子分解為加法項，因此人們會寫類似 $$ \ log（r / r_0）= \ log（r）-\ log（r_0）= \ log（r）+ C。$$ 意外執行此操作的最常見方法是通過積分， $$ \ int \ frac {\ mathrm dr} {r}“ =” \ log r + C。$$ 從技術上講這是錯誤的，但是幾乎每個人都這樣寫。最終，您總是可以將常數重新組合成對數，以便參數具有正確的維數。

其他答案是正確的，當您從單位分析的角度考慮它時，您不能相加具有不同單位的數量。即便如此，正式上您總是可以做類似的事情 $$ f \ left（\ frac {x} {1 \ operatorname {m}} \ right）$$ 得到一些數學上可行的東西。

當不好的味道/不好的做法是您親自介紹了該分母時。在任何需要您評估某些複雜函數（例如$ \ sin $，$ \ ln $或$ \ exp $）的物理問題中，總會有一些物理上相關的數量具有相同的單位，這將使您形成一個無單位數量。例如，當使用簡單的諧波振盪器時，我們可以將彈簧常數$ k $和質量$ m $結合起來，以反時間單位$ \ omega \ equiv \ sqrt {k /m} $。正是$ \ omega $允許我們明智地寫出$ x = A \ sin（\ omega t）$來描述振盪器的運動。

我故意設置如下內容：

f lbs =電橋mV / 2 ^{x log _{2 sub> mV / lbs sup>}}

行得通。2是一個顯然無量綱的常數*，因此單位確實必須在x上。

這是一種不好的形式，因為x的很小變化對應於結果的很大變化，否則很難理解數字的作用。

*當公式以其原始形式表示時，則2不存在；僅當以標準格式重寫時才會顯示。

我的觀察方式是，大多數單位的行為就像未知的乘法。也就是說，我們可以想像存在一個數量（可能未知）的自然單位，而該單位是一個將人類單位轉換為自然單位的比例因子（可能未知）。為了使公式一致，我們希望所有未知數都被抵消。物理學家認為，不像乘法未知數（例如攝氏和華氏度）起作用的單位是不好的味道。

因此，問題就變成了不同的函數對可乘未知數有什麼作用。讓我們考慮一下將數字加冪的簡單功能。

$ F（x）= x ^ n -> F（xu）= F（x）F（u）$

太好了，我們進入了一個好口味的單位，然後出現了一個好口味的單位。

現在讓我們看一下對數。

$ F（x）= log_n（x）-> F（xu）= F（x）+ F（u）$

此結果不是“好味道單位”，因為它是加法未知數而不是乘法未知數，但是使用起來並不可怕。在許多情況下，我們可以消除F（u）並得出一致的論壇。實際上，工程師經常以這種方式使用對數。

現在讓我們看一下指數。

$ F（x）= n ^ x -> F（xu）=（F（x））^ u $

舔，我想在某些情況下可以取消電源，但是處理起來非常恐怖。