讓 $$ \ psi（x） = \ begin {cases} 1 & \ exists \，n \ in \ mathbb N：x \ in [n，n + \ frac 1 {n ^ 2}] \\ 0 & \ text {other。} \ end {cases} = \ sum_ {n \ in \ mathbb N} \ mathbf 1 _ {[n，n + \ frac 1 {n ^ 2}]}（x），$$ 其中$ \ mathbf 1_A $是集合$ A $的特徵函數。 然後 $$ \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | \ psi（x）| ^ 2 dx = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac 1 {n ^ 2} < \ infty，$$ 但是$ \ psi（x）$不會收斂為零，因為$ x \ ++ infty $。

請注意，$ \ psi \ in L ^ 2（\ mathbb R）$，但它不是兩次（弱）可微，因此不能成為薛定ding方程的解，其中$ H =-\ Delta + V $。但是，通過用具有緊湊支撐的平滑脈衝代替矩形功能，可以輕鬆解決該問題。或者，使用 $$ \ psi（x）= x ^ 2 \ mathrm e ^ {-x ^ 8 \ sin ^ 2 x}，$$ 正如 arXiv：quant-ph / 9907069中第2.1節的示例2所討論的那樣–甚至是分析性的。

Emilio Pisanty和Eckhard Giere在回答中已經給出了不連續的，分段的反例。在這裡，我們為平方可積函數$ f：\ mathbb的C ^ {\ infty}（\ mathbb {R}）$提供一個平滑的，無數次可微分的反例$ f \ {R} \ to [0,1] $ not 不滿足$ \ lim_ {| x | \ to \ infty} f（x）= 0 $。我們的反例是

$$ \ tag {1} f（x）〜：=〜e ^ {-g（x）}〜\ in〜] 0,1]，\ qquad g（x） 〜：=〜x ^ 4 \ sin ^ 2 x〜\ in〜[0，\ infty [。 $$

直觀的想法：如果我們將$ x $視為時間變量，則函數$ f $會定期返回其最大值

$ $ \ tag {2} f（x）= 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad g（x）= 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ frac {x} {\ pi} \ in \ mathbb {Z}，$$

，但是如果它的時間接近$ x $軸，則花費最多，以便平方可積。

證明：我們保留了詳細的嚴格epsilon-讀者可以使用Delta數學證明，但是草圖啟發式證明就是這樣。對於每個非常大的整數$ | n | \ gg 1 $，定義一個移位變量

$$ \ tag {3} y〜：=〜x- \ pi n。$$

對於固定整數$ n \ in \ mathbb {Z} $，從現在開始始終假定$ y $變量屬於區間

$$ \ tag {4} | y | 〜\ leq〜\ frac {\ pi} {2}。$$

對於$ | y | \ ll \ frac {\ pi} {2} $非常小，我們可能近似$ g（x ）\ approx（\ pi n）^ 4y ^ 2 $，因此在區間（4）中，我們有

$$ \ tag {5} g（x）〜\ lesssim〜\ pi ^ 4 | n | \ quad \ Leftrightarrow \ quad | y | 〜\ lesssim〜| n | ^ {-\ frac {3} {2}}。$$

因此我們可以形成一個平方可積主函數$ h \ geq f $（位於$ x $軸），方法是定義

$$ \ tag {6} h（x）〜：=〜\ left \ {\ begin {array} {lcl} 1 & {\ rm for} & | y | 〜\ lesssim〜| n | ^ {-\ frac {3} {2}}，\ cre ^ {-\ pi ^ 4 | n |} & {\ rm for} & | n | ^ {-\ frac {3 } {2}}〜\ lesssim〜| y | 〜\ leq〜\ frac {\ pi} {2}，\ end {array} \ right。 \ qquad | n | \ gg 1. $$

在{\ cal L} ^ 2（\ mathbb {R}）$中的函數$ h \在整個$ x $軸上是平方可積的，因為

$$ \ tag {7} \ sum_ {n \ neq 0} | n | ^ {-\ frac {3} {2}}〜<〜\ infty $$

和

$$ \ tag {8} \ pi \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} e ^ {-2 \ pi ^ 4 | n |}〜<〜\ infty $$

是收斂級數。

除了不足以證明整數$$ \ int | f（x）| ^ 2 \ text dx< \ infty的收斂外，$$具有消失的limig $ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f（ x）= 0 $僅對於在合適的“ nice”函數類中進行收斂是必需的。

請考慮函數$$ f（x）= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ chi _ {\ left [n，n + \ frac1 {n ^ 2} \ right]}（x）= \ left \ {\ begin {array} &1 \ text {if} n \ leq x \ leq n + 1 / n ^ 2 \ text {表示某些} n = 1,2,3，\ ldots，\\ 0 \ text {否則。} \ end {array} \ right。$$（此處$ \ chi_A $是 $ A \ subseteq \ mathbb R $的特徵函數。）此函數具有收斂的$ L ^ 2 $積分，但在無限遠處沒有明確定義的極限。儘管此函數不是連續的，但是使用合適的凹凸函數，您可以創建具有相同屬性的類似$ C ^ \ infty $函數。這是當您不對無窮大施加無窮限制時允許的函數，即非常醜陋。

更重要的是，您的波函數服從平穩的Schrödinger方程，能量為$ E $對於某些潛在的$ V $，例如$ \ lim_ {x \ rightarrow} V（x）>E $（即綁定狀態）。那麼您知道，在無窮大處，$ f''（x）$與$ f $具有相同的符號，我們可以假定它是正數。如果該區域中的$ f'（x）$永遠為零，那麼您將知道之後的所有$ x $都為正，並且$ f（x）$將單調增加，在這種情況下$ L ^ 2 $積分沒有收斂的機會。在此特定設置下，您可以將自己限制為單調遞減的函數，並且那些足以使$ L ^ 2 $收斂需要無窮大的限制。

（如果可以的話，再跟一個更嚴格的論點。）