有趣的問題！

正如您所指出的那樣，

$$ \ theta \ approx 1.22 \ frac {\ lambda} {D } $$ span>

對於像人的眼睛，它的最大瞳孔直徑約為 $ 9 \ \ mathrm {mm} $ span>，然後在可見光譜中選擇約 $ 390 \ \ mathrm {nm} $ span>的最短波長，角分辨率約為 $ 5.3 \ times10 ^ {-5} $ span>（當然是弧度）。在 $ 24 \ \ mathrm {km} $ span>的距離處，這對應於線性分辨率（ $ \ theta d $ ，其中 $ d $ span>是距離）約為 $ 1.2 \ \ mathrm m $ span>。因此，對騎乘者進行計數似乎是合理的，因為它們之間的間距可能是此分辨率的一到幾倍。比較它們的分辨率級別的高度會更加困難，但是使用抖動仍然可能。萊戈拉斯在數數時，也許會扭動他的頭嗎？抖動僅在圖像採樣（在這種情況下是通過精靈感光器）比光學器件的分辨率差時才有用。人眼顯然具有等效的像素間距大約十分之幾弧分，而衍射極限分辨率約為十分之一分弧分，因此抖動或其他一些技術可能需要採取充分利用光學優勢。

干涉儀的角分辨率等於望遠鏡，其直徑等於兩個距離最遠的探測器之間的距離。萊戈拉斯有兩個探測器（眼球），它們相距他的瞳孔直徑的10倍， $ 75 \ \ mathrm {mm} $ span>左右，最。這將使他在 $ 15 \ \ mathrm {cm} $ span>處的線性分辨率約為 $ 24 \ \ mathrm { km} $ span>，可能足以比較騎行者的身高。

不過，干涉測量要比這複雜得多。僅使用兩個檢測器和一個固定的間隔，即可解析角度間隔等於分辨率的 only 特徵，並且方向也很重要。如果Legolas的眼睛水平放置，他將無法使用乾涉技術在垂直方向分辨結構。因此，他至少需要將頭部向側面傾斜，並且可能還需要將其微動很多（包括旋轉），以獲取不同基線方向的體面採樣。儘管如此，看起來如果使用足夠複雜的處理器（精靈大腦？），他就可以實現所報導的觀察結果。

LubošMotl指出，在干涉測量中他可能還會遇到其他一些困難，主要是多色組合光源和一個比所觀察到的波長大許多倍的檢測器間距導致進入兩個檢測器的光的相位沒有相關性。沒錯，如果他的眼睛（特別是感光體）足夠老練，可以同時用作高分辨率成像光譜儀或積分場光譜儀，則Legolas也許可以解決這個問題。 a>和乾涉儀。這樣，他可以挑選出給定波長的信號，並將其用於乾涉測量中。

其他一些答案和評論都提到了由於地球的曲率而可能會導致難以將視線繪製到點 $ 24 \ rm km $ span>的問題。正如已經指出的那樣，Legolas僅需要在大約 $ 90 \ \ mathrm m $ span>（離圓 $ 6400 \ \ mathrm {km} $ span>的半徑沿圓周的切線 $ 24 \ \ mathrm {km} $ span>沿圓周；中土顯然是關於地球大小的，或者可能是過去的地球，儘管在快速搜索後我無法真正用規範的源將其確定下來）。他不需要在山頂上或其他任何地方，因此假設地理條件允許視線是合理的。

最後一點關於“清潔空氣”。在天文學中（如果您還沒有猜到我的領域，現在您知道。）我們將由大氣引起的扭曲稱為“看見”。視線通常以弧度秒為單位（ $ 3600“ = 60'= 1 ^ \ circ $ span>），指的是大氣扭曲對角分辨率的限制。在完美條件下從山頂獲得的最佳視力約為 $ 1''$ span>，或者以弧度 $ 4.8 \ times10 ^ { -6} $ span>。這大約與Legolas令人驚嘆的干涉眼相同的角分辨率。我不確定在 $ 24 \ \ mathrm {km} $ span>的距離上水平看到的樣子。一方面，空氣比垂直向上看要多得多。大氣層的厚度大於 $ 24 \ \ mathrm {km} $ span>，但其密度隨海拔高度迅速下降。另一方面，在固定高度上相對均勻的密度和溫度將導致折射率的變化小於垂直方向上的變化，這可能會改善視覺效果。如果我不得不猜測，我想說的是，對於溫度恆定的非常靜止的空氣，他可能會看到與 $ 1 \ rm arcsec $ span>一樣好的圖像，但條件更為實際隨著太陽的照耀，類似海市rage樓的效果可能會取代Legolas可以達到的分辨率。

讓我們首先根據簡單的公式替換數字以查看所需的瞳孔直徑：$$ \ theta = 1.22 \ frac {0.4 \，\ mu {\ rm m}} {D} = \ frac {2 \，{\ rm m}} {24 \，{\ rm km}} $$我已替換了最小（紫羅蘭色）波長，因為該顏色使我獲得了更好的分辨率，即較小的$ \ theta $。騎士的高度為兩米。除非我弄錯了，否則直徑$ D $必須為0.58厘米。這是完全明智的，因為最大打開的人類瞳孔的直徑為4-9毫米。

就像視頻中所說的那樣，衍射公式因此可以不僅僅觀察騎士的存在-對其進行計數-但是他們的第一個“內部詳細”屬性略微不足，也許褲子比襯衫要暗。但是，顯然看不到引導線是160厘米還是180厘米，因為這將需要將分辨率提高另一個數量級。就像視頻中所說的那樣，用可見光和人眼是不可能的。一個人要么需要的眼睛和瞳孔要大十倍；或某些頻率高10倍的紫外線。

使衍射光瞳變窄，這並沒有幫助使瞳孔變窄。模糊得多的圖像不能作為最清晰圖像的補充。我們也知道在人類的現實世界中。如果某人的視力比其他人的視力要清晰得多，那麼第二人就無法完善一些難以看見的物體的信息。

相對於上面的簡單預期，大氣影響可能會使分辨率惡化。即使我們有最乾淨的空氣，也不只是乾淨的空氣。我們需要具有恆定溫度的均勻空氣，以此類推，並且從來沒有如此均勻和靜態的空氣–它仍然會扭曲光的傳播並暗示其他惡化。對於我而言，所有這些考慮因素當然都是完全學術性的，我可以合理地思考我是否從24米以外的地方足夠清楚地看到人們來對他們進行計數。 ;-）

即使大氣層使分辨率降低了大約5倍，只要騎士之間的距離更大，騎士仍可能在視網膜上引起最小的“模糊點”。比距（最差的）分辨率的距離（例如10米）遠，人們將可以對其進行計數。

通常，感光細胞的密度確實足夠高，因此它們不會使估計的分辨率真正變差。我認為它們足夠密集，因此眼睛可以充分利用衍射公式的限制。進化可能已經達到極限，因為自然界並不難使視網膜緻密，自然界將浪費機會，不給哺乳動物以他們所能獲得的最清晰的視野。

提高分辨率或避開衍射極限，幾乎沒有。除非能以比感光細胞的距離更好的精度觀察點的位置，否則長期觀察將無濟於事。哺乳動物的器官無法保持靜止。在波動的位置使用許多不可避免的模糊圖像進行圖像處理只會產生不清晰的圖像。

超大型陣列的技巧也不起作用。這是因為甚大型陣列僅對無線電波（即長波）有幫助，因此陣列中的各個元素可以測量電波的相位，而有關相對相位的信息將用於銳化有關源的信息。可見光的相位-除非它來自激光，否則即使在這種情況下也值得懷疑-在兩隻眼睛中是完全不相關的，因為光不是單色的，並且兩隻眼睛之間的距離遠大於平均波長。因此，兩隻​​眼睛僅具有使整體強度加倍的優點。並給我們3D立體視覺。後者在24公里的距離上也顯然無關緊要。兩隻眼睛看向24 km遠處物體的角度與平行方向明顯不同。但是一旦肌肉適應了這種稍微不平行的角度，兩隻眼睛從24 km的距離所看到的就無法區分。

採取以下理想情況：

• 感興趣的人靜止不動，並且具有固定的均勻顏色
• 背景（草）的背景是固定均勻的顏色（與人的顏色明顯不同）。系統（包括他的感光器）
• Legoalas知道他的眼睛的確切位置和方向。
• 假設他的感光器中的噪聲基本為零，並且他可以接受

由此，Legolas可以計算出感興趣的人的任何位置和（角度）大小（包括任何衍射效應）在視網膜上的確切反應。然後，他可以將確切的模板與實際的傳感器數據進行比較，並選擇最匹配的模板-請注意，這包括響應方式下降和/或成像人員邊界周圍的任何衍射條紋的匹配方式（我假設

（更簡單的說：給定了PSF，在眼睛上的黑色矩形很明顯白色背景下，我們可以計算出光學系統的確切響應-我只是說Legolas可以對他的眼睛和任何假設的大小/顏色進行相同的操作。）

主要限制

1. 他考慮了多少種不同的模板假設，
2. 任何使他的眼睛的響應偏離可計算的理想響應的噪聲或湍流（可以緩解噪聲）積分時間）
3. 他有能力控制眼睛的位置和方向，即 $ 2m $ span>在 $ 24km $ span >僅是 $ 0.01 $ span>弧度-映射到 $ \約0.8 \ mu m $ span>位移大概是 $ 1cm $ span>眼球半徑）。
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基本上，我是在畫草圖超分辨率維基百科頁面上提到的貝葉斯類型的超分辨率技術。

為避免將人與坐騎混在一起的問題，我們假設萊戈拉斯觀察到人們下車時，也許會休息一下。通過比較不同人的相對大小，他可以判斷出領導者是個高個子（假設他們周圍的距離比他的眼睛的分辨力大得多）。

書中的實際場景使他可以辨別在騎手騎行和移動的過程中–在這個階段，我只需要說“這是一本書”，但是當您對光學系統和所要觀察的東西有很多了解時，衍射極限就無關緊要了。

此外，人類桿狀細胞是 $ O（3-5 \ mu m）$ span>-這是將會對來自瞳孔的任何衍射效應施加低通濾波。

類似問題的玩具模型說明

讓 $ B（x; x_0，dx）= 1 $ span>為 $ x_0 < x < x_0 + dx $ span>，否則為零；卷積 $ B（x; x_0，dx_1）$ span>和 $ B（x; x_0，dx_2）$ span> ，其中 $ dx_2>dx_1 $ span>，並帶有一些已知的PSF；假定此PSF的寬度遠小於 $ dx_1，dx_2 $ span>但比 $ dx_2- dx_1 $ span>生成 $ I_1（y），I_2（y）$ span>。 （在我對這個模型的概念中，這是單個視網膜細胞作為眼睛角位置（ $ y $ span>）的函數的響應。）拍攝兩個大小不同的塊的圖像，然後對齊圖像，以使兩個塊的左邊緣在同一位置。如果再問一個問題：圖像的右邊緣在哪裡越過選定的閾值，即 $ I_1（y_1）= I_2（y_2）= T $ span>您會發現 $ y_2-y_1 = dx_2-dx_1 $ span>與PSF的寬度無關（假設它比任何一個塊都窄）。您通常想要銳利邊緣的原因是，當存在噪聲時， $ y_1，y_2 $ span>的值將與與的斜率成反比的量變化。圖片;但是在沒有噪聲的情況下，測量尺寸差異的理論能力與光學分辨率無關。比人們想像中的身高小得多。但這確實說明了一般觀點。

您沒有考慮到的一件事。行星的曲線（中地球的大小和曲率與地球相似）。您只能看到6英尺高的海洋地平線3英里。要觀看24公里，您需要距離要觀看的物體近100m。因此，除非萊戈拉斯（Legolas）身處非常（非常）高的山丘或山頂，否則由於地球的曲率，他將無法看到24公里。

反捲積可以工作，但僅在點源如在這裡指出。原理很簡單；由於有限孔徑造成的模糊是已知的數學映射，它將假設的無限分辨率圖像映射到具有有限分辨率的圖像。給定模糊的圖像，然後可以嘗試反轉此映射。如果點源的模糊圖像完全不模糊，則應該只影響一個像素，這稱為點擴散函數。通過點擴散函數競爭性地定義到模糊圖像的映射。有多種算法可以將圖像去模糊到某種近似值，例如 Richardson–Lucy反捲積或 Wiener濾波方法。

在實踐中，您無法對圖像進行完美的捲積處理，因為這涉及對圖像的傅立葉變換進行劃分。通過點擴散函數的傅立葉變換實現模糊圖像，而後者在大波數下趨於零。這意味著您最終將放大高波數處的噪聲，而正是在高波數處存在小比例的細節。因此，您獲得的分辨率最終將受到噪聲的限制。

Legolas如果有足夠的時間並且可以進行足夠準確的光譜測量，可能只需要一隻眼睛。

首先，請注意Legolas在陽光明媚的日子裡觀看；我們假設在物體的入射強度和反照率之間反射的光量為$ 100 \ mathrm {W} / \ mathrm {m} ^ 2 $光，大約是每秒$ 10 ^ {22} $光子。在24公里處，每個$ \ mathrm {cm} ^ 2 $的光子約為$ 10 ^ 8 $。

我們不確定Legolas的眼睛有多大，因為書中沒有說，但我們可以假設它們的體積並不大，因此直徑約為1厘米，這使他的角分辨率約為$ 6 \ cdot 10 ^ {-5} $弧度，或約為$ 1.5 \ mathrm {m} $。如前所述，這應該足以計算出騎手的人數。

現在有兩個非常重要的因素。首先，車手正在前進。因此，通過查看光譜中的時間相關性，Legolas原則上可以推斷出騎手的光譜與背景有何不同。我們還可以假設他熟悉各種常見對象（皮革，各種顏色的頭髮等）的光譜。因此，他可以建立一個亞分辨率混合模型，在該模型中，假設不同光譜的$ n $個對象，並嘗試找到每個對象的大小/亮度。這可能是最棘手的部分，因為許多項目的光譜往往相當寬泛，從而在光譜上產生大量重疊。讓我們假設他正在尋找的對象與其他對象的光譜分佈只有10％的差異（總計）。然後用一秒鐘的積分時間，他將獲得大約$ 10 ^ 4 $個光子的光子散粒噪聲，但是大約有$ A \ cdot10 ^ 7 $個光子的信號，其中$ A $是目標對像在其中的分數亮度衍射極限視場。

由於超分辨率顯微鏡可以分辨出與SNR大致成比例的項目（最簡單的示例：如果光源全部在一個像素中，全部在另一個像素中，或兩者之間的一小部分，則基本上只需要比較這兩個像素中的強度），這意味著Legolas可能會在$ 1.5 \ mathrm {mm} $的範圍內找到明亮的物體。例如，如果他在頭盔和箍筋上使用微光，就可以很好地測量身高，並挑選出諸如“黃色是他們的頭髮”之類的細節。

本著您的問題的精神，擁有兩隻眼睛並假設您可以將它們用作陣列（這需要測量眼睛無法做到的東西的相位）可以讓您將它們之間的距離用於$ D分辨率方程式中的$。我不知道小精靈的眼睛間距，因此為了方便起見，將使用$ 6 cm $。在$ \ lambda = 430 nm $的紫光下，我們得到$ \ theta \約1.22 \ frac {430 \ cdot 10 ^ {-9}} {0.06} = 8.7 \ cdot 10 ^ {-6} $。在距離$ 24 km $時，分辨率為$ 21 cm $。您可能可以區分騎兵，但是身高估算非常困難。

另一個問題是地球的曲率。如果地球半徑為$ 6400 km $，您可以畫一個直角三角形，其腿為$ 24，6400 $，發現另一個為$ 6400.045 $，因此他只需要在$ 45 m $的高山上。霧霾會是個問題。

這是尚未提到的另一種可能性。如果一個對象A可以完全隱藏在另一個類似形狀B的對像後面，則B必須大於A。相反，A在B後面經過並且始終保持部分可見，這表明A大於B（或者A不在B的正後方，現在暫時忽略這種可能性。

在Legolas的情況下，如果領導者俱有某些明顯的特徵（閃亮的頭盔，不同顏色的夾克），並且在領導者經過他的團隊中的其他人時，Legolas可以看到一些這種顏色，那麼我得出的結論是。在這種情況下，分辨率並不重要。萊戈拉斯可以分辨出哪個物體在前方，因為前者色的光子數量將減少，就像行星經過遙遠的恆星前方一樣。

看到這麼遠也有幾何限制。我在math.SE上有 Q&A'ed。如果站在平坦的地面上，由於行星的曲率，Legolas只能看到4.8公里（假設中間地球位於與我們相似的行星上）。要看到這麼遠，他必須爬上大約50m高的小山或樹木。