是的，對數總是給出無量綱的數字，但是不，用單位取任何對數並不是物理上的。

相反，總是有一些標准單位。對於您的示例，標準是公里。然後，在對數轉換下，20 km變為$ \ ln（20 \; \ textrm {km} \; / \; \ textrm {km} \;））$。同樣，具有此比例的10 cm的對數是
$$ \ ln（10 \; \ textrm {cm} \; / 10 \; \ textrm {km} \;）= \ ln（10 \乘以10 ^ {-3} / 10 ^ {3}）= \ ln（10 ^ {-5}）$$

這是一個“數學”但高度非物理的答案。

使用$ km \ cdot km =（km）^ 2 $等，我們可以正式定義數字算術單位在漸變代數上$ A = \ oplus_ {k \ in \ mathbb {N}} V_k $其中$ V_k = \ otimes ^ k V $其中$ V $被視為一個-維實向量空間（$ V_0 $是標量$ \ mathbb {R} $）。單位的選擇是選擇$ V $中的基向量。 $ V_0 $是純標量。因此，對於V向量中的基礎向量$ v \ in的每個選擇，我們都從無限序列$ \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \映射到A $，通過$（r_k）\ to實現該序列[r_k] _v = \ sum r_k（\ otimes ^ kv）$。像往常一樣，我們定義乘以$ V_k \ times V_ {k'} \到V_ {k + k'} $。

（我們現在將不定義負功率單位。但是它們可以類似地合併。）

然後，我們可以正式定義$ \ exp：A \ to A $通過冪級數展開

$$ \ exp a = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k！} a ^ k $$

其中$ a ^ k $是在漸變代數的意義上定義的。在那裡，我們定義了$ \ exp $帶有單位的東西的含義。 $ \ exp $的基數更改由$ y ^ a = \ exp（\ ln（y）\ cdot a）$處理。同樣，利用一維實向量空間上的基礎變化只是乘以標量，就可以自然地合併單位的變化。換句話說，我們有$ [r_k] _v = [r'_k] _ {v'} $，其中，當$ v = s v'$時，$ r_k = s ^ kr'_k $。

使用此方法，我們可以正式地將冪級數展開取反，以找到$ \ ln $“應該”是什麼。修復單位$ v $。取$（r_k）\ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} $，並考慮$ [r_k] _v \ in A $。要找到$ \ ln [r_k] _v $，我們需要在\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} $中找到$（s_k）\，這樣

$$ \ begin {align} r_0 & = \ exp s_0 \\ r_1 & = e ^ {s_0} s_1 \\ r_2 & = e ^ {s_0}（s_2 + \ frac {1} {2} s_1 ^ 2）\\ & \ vdots \ end {對齊} $$

（我們還可以使用$ \ ln $的泰勒展開式在$ 1 \ in \ mathbb {R} $周圍以$（r_k）$的形式獲取$（s_k）$的表達式。）

不幸的是，即使在這個框架中，$ \ ln 1 km $仍然沒有很好的定義：在$ \ exp $的圖像中，$ r_0 $肯定是正數。正式地，可以將$ \ ln（1 km）= \ ln（1 +（1 km-1））$定義為相當分散的冪級數

$$ \ ln（1 m） = \ sum \ frac {（-1）^ {k + 1}} {k}（-1 + 1（m））^ k = \ sum \ frac {-1} {k} + \ sum 1（m） -\ sum \ frac {k-1} {2}（m ^ 2）+ \ cdots $$

現在，使用發散級數會很有趣：請注意，$ \ sum 1 = \ sum（-1） ^ k（-1）^ k = \ sum（-1）^ kx ^ k | _ {-1} $是$ 1 / x $在$ x_0 = 1 $附近的Taylor級數展開，估計為$ -1 $，因此第二項名義上是$ \ lim_ {x \ to 0+} 1 / x $。因此，即使我們進行正則化：

$$ \ lim _ {\ delta \ to 0+} \ ln（\ delta + 1m）= \ lim _ {\ delta \ to 0+} \ ln \ delta + \ delta ^ {-1）m + \ cdots $$

仍然存在很大差異。

（請注意，$ \ ln（1 + 1km）= \ sum（-1）^ {j + 1} / j（km）^ j $被定義為形式冪系列。）

那麼這篇文章的重點是什麼？該帖子主要針對以下結論：$ \ log m $是問題說明中所述的“無量綱數”。儘管在通常的算法中我們被告知不能將蘋果添加到橙子中，但這僅是出於我們試圖將$ \ mathbb {Z} $蘋果模塊中的一個對象添加到其中一個單獨對象的觀點。 $ \ mathbb {Z} $-模塊的橙子。如果您願意使用蘋果$ \ oplus $桔子的直接和模塊，則可以將蘋果添加到桔子中。

現在，隱含地斷言$ \ log $對具有單位的對像有意義（並且類似地$ \ exp $對單位的對像有意義），有必要我們已經在系統中工作了，分級的$ \ mathbb {R} $-代數，您可以在其中將標量（無單位的對象）添加到向量（某些有單位的對象）中。因此，在斷言要理解$ \ log km $時，不能由此得出$ 3 $和$ \ log m $必須具有相同單位的結論。

這是一個有趣的問題。我很難掌握$ ln $的轉換，所以我將用指數的形式來寫。

$$ \ mathrm {value} = \ ln（10 \ \ mathrm {km}）$$$$ e ^ {\ mathrm {value}} = 10 \ \ mathrm {km} $$

數字$ e $當然是無單位的。如果我將一個數字加到冪上，該冪的允許單位是多少？如果我寫$ x ^ 2 $，我有一個直觀的假設，即$ 2 $沒有單位，因為它只是用來表示$ x \ times x = x ^ 2 $的計數。

因此，我已經說服了卡爾的回答，並且我需要一個對數才能使參考有意義。例如：

$$ e ^ {\ mathrm {value}} = \ frac {10 \ \ mathrm {km}} {1 \ \ mathrm {km}} $$

以前將$ e $提升為等於實際單位實數的冪的替代方法，似乎是無意義的事物的完美示例。

對數圖

我有另一個問題源於您的問題，我將在這裡嘗試回答。我特別記得在工程類中採用對數對數和線性對數圖的導數。我們對此有充分的道理，但從表面上看似乎很荒謬，所以讓我們深入。這是一個對數-對數圖的示例。我將顯示該圖，然後提供所表示線的方程。

^{圖片來源： Wikipedia sup>}

我將從基本的$ y = mx + b $形式開始編寫內容，然後根據需要進行更改。由於我使用的是任意常數，因此會在必要時進行修飾。

$$ \ log（p）= a \ log（m）+ b = a（\ log（m）+ b '）=一個\ log（b''m）= \ log（b''^ am ^ a）= \ log \ bigg（\ frac {p_0} {m_0 ^ a} m ^ a \ bigg）$$$$ p = p_0 \ left（\ frac {m} {m_0} \ right）^ a $$

像魔術一樣，一種可識別的形式出現了。在對數對數圖中觀察線性關係確實意味著您正在觀察冪擬合，而不是線性擬合。學生可能仍然會問“但是a和b是什麼”，這有點困難。首先，我沒有對$ a $進行任何操作，因此您可以直接從最終形式中獲取含義，也就是說，這是一個指數，因此沒有單位。對於b：

$$ b = ab'= a \ log（b''）=一個\ log \ bigg（\ frac {p_0 ^ {1 / a}} {m_0} \ bigg）= \ log \ left（\ frac {p_0} {m_0 ^ a} \ right）$$

這表明$ b $也是無單位的，但是它也可以解釋$ p_0 $，即某個參考x值（$ m_0 $）的參考y值。我將繼續進行線性對數圖或半對數標度。

^{圖像源： J。經驗Med。 103 ，第653頁（1956年）。 sup>}

我將用$ f $表示“生存分數”，用$ d表示$劑量。在上面的圖上顯示為線性的回歸方程如下：

$$ \ log（f）= ad + b $$$$ f = e ^ {ad + b} = e ^ be ^ {ad} = f_0 e ^ {ad} $$

在這裡需要特別注意的是，$ b $一直都有可疑的單位，就像在log-log情況下一樣，但是沒有。這真的很重要，因為自然會從數學中產生一種更有用的形式。值$ f_0 $將是$ d = 0 $時的基線值（在這種情況下為100％）。 非線性形式，一旦完成數學運算，單位就可以計算出來，但是對值的解釋可能並不簡單。

它既不是物理量也不是無量綱數，而是可以描述為物理量對數。這沒有太大問題：讓$ \ mathcal {P} $為物理量的空間。如Willie Wong所述，我們可以通過基本物理單元（例如SI）以類似於矢量空間的方式跨越此空間。重要的是：我們知道我們無法在此空間中執行某些操作，例如，我們無法向電流增加質量。僅在$ a $和$ b $具有相同維的情況下（即，如果$ \存在x \ in \ mathbb {R} $使得$ a a = xb $。始終定義乘法，並始終再次產生物理量。 （這也定義了物理量的冪，但不是其中之一的冪。）然後我們知道$ \ mathbb {R} \ subset \ mathcal {P} $，因為，兩個長度$ a，b \ in \ mathcal {P} $的比率$ \ tfrac {a} b $將為無量綱數。對於這些無量綱的量，對數是從一開始就定義的。

將其擴展到完整空間$ \ ln \！\！\ mathcal {P} \ supset \ mathbb {R}很簡單$：對於$ a \ in \ mathbb {R} \ subset \ mathcal {P} $，對數通常定義為。對於$ a \ not \ in \ mathbb {R} $，我們以公理的方式定義對數：首先，我們需要$ \ ln \！\！\ mathcal {P} $作為阿貝爾群WRT加法，甚至是超過$的向量空間\ mathbb {R} $。然後，對於$ \ lambda \ in \ mathbb {R} $，$$ \ begin {align} \ ln（a ^ \ lambda）&：= \ lambda \ ln（a）\ end {align} $$和$ b \ in \ mathcal {P} $，$$ \ ln（ba）：= \ ln（b）+ \ ln（a）。$$ 假設$ a $和$ b $具有相同的尺寸，因此可以相加，這已經告訴了我們對數的對數：我們知道$ \存在x \ in \ mathbb {R} \ colon b = ax $ ，換句話說，我們可以將任何物理量的總和寫成其中一個與實數的乘積，因此任意長度的對數可精確到任意一個特定長度的對數，再加上長度之間的比率對數。

回到您的問題：一公里的對數是多少？答案：$ \ ln（1 \：\ mathrm {km}）= \ ln（\ mathrm {km}）$。如果將公里作為長度的基本單位，那麼這就是您所需要的。如果您更喜歡米或英寸或其他任何東西，您將得到$$ \ ln（1 \：\ mathrm {km}）= \ ln（1000 \：\ mathrm {m}）= \ ln（1000）+ \ ln（\ mathrm {m}）$$$$ \ ln（1 \：\ mathrm {km}）= \ ln（\ tfrac {1 \：\ mathrm {km}} {1“} \：\ mathrm {”}）= \ ln（\ tfrac {1 \：\ mathrm {km}} {1“}）+ \ ln（\ mathrm {”}）\約10.58 + \ ln（\ mathrm {“}）$$此處，$ \ ln （\ mathrm {km}），\ ln（\ mathrm {m}），\ ln（\ mathrm {“}））$是 not 無量綱數。而是將它們視為向量空間的元素，該向量空間具有實數作為子空間。

最好的考慮方式是，一個1公里之類的數字由一個無量綱1乘以一個單位km組成。取產品的日誌時，將得到日誌的總和，因此log（1 km）與log（1）+ log（km）相同。這表明1 km的對數既不是無量綱的量，也不是無量綱的量。如果它是無量綱的，那麼無需參考任何單位制就可以表達出來。如果它是有維數的，那麼當單位制改變時，它會乘以乘積來改變。這些都不是。

最接近“對數單位”的是分貝，它是比率的以10為底的對數的10倍。要將任何物理量放入類似分貝的單位，您需要首先除以一些參考量。例如，功率的“分貝”單位為“ dBm”，它是所討論的功率在1 mW上的比率，以dB表示：

$ $ P _ {\ rm dBm} = 10 \ {\ rm log_ {10}} \ left（\ frac {P _ {\ rm mW}} {1 \ \ rm mW} \ right）$$ span>

對數函數很容易用於從一種尺度轉換為另一種尺度。實際上，刻度/單位是度量單位，因此是無量綱的，但是從物理意義上講，我們相對於絕對標準選擇一個單位，以使該值有意義並具有可重複性。因此，回答您的問題。對數（x）是無單位的，因為執行的所有數學運算本質上都是無單位的。為了更好地理解，我想舉一個假想的例子：“當我和朋友一起跑步時，我們之間的距離與朋友跑步的速度成正比在“在此示例中，等式兩邊的單位完全是任意的，具體取決於情況的表述，它很可能是無量綱的-m / s，或者說天氣然後是攝氏-m / s！

希望這會有所幫助。

關於對數函數的潛在“無量綱性”的另一種觀點，與對數函數與冪函數的積分和導數的關係以及與冪函數$ 0 $的接近程度有關。的$ t ^ p $：$$ \ int t ^ p dt \ ,, $$與$ p \ neq -1 $，按固定的間隔獲取：
$$ \ frac {1} {p +1} \ times t ^ {p + 1} \，.. $$

每次，人們獲得另一個維度（或單位的冪）。度$ 0 $為正數。對於負冪，它下降到$-\ infty $：$ p \ neq 0 $，

$$ \ frac {d（t ^ p）} {dt} = pt ^ {p- 1} $$

肯定會在零次方附近發生事。

習慣上將非空標量$ \ alpha $的零次方設置為$ 1 $ （$ \ alpha ^ 0 = 1 $）。如果現在修復一個非空的$ t $，則實際$ p $-冪在$ 0 $附近的變異係數如下：$$ \ frac {e ^ {p \ log t}-t ^ 0} {p -0} \ approx \ frac {1 + p \ log t-1} {p} $$，因為$ p $傾向於$ 0 $。 出現$ \ log t $行為。

從某種意義上說，常數是對數的極限行為，反之亦然。因此，對數應該以某種方式減少單位。

統計實驗數據分析中也有類似的概念。當您試圖找到變量$ y $和$ t $之間的關係，而又找不到線性變量時，有人嘗試使用冪函數修改至少一個變量。 J. Tukey（箱形圖和FFT的“發明人”）通過查看$ y = a + bt ^ {p} $提出了變換階梯或冪階梯。一個更令人滿意的解決方案是Box-Cox變換：如果$ \ hat {t} $表示$ t $的幾何均值，而$ \ alpha $表示某個偏移，則：$$ t_ \ alpha ^ {（p）} = \ frac {（t- \ alpha）^ p-1} {p \ hat {t} ^ {p-1}} $$，您會發現在$ t_之間保持相同的“單位”是一個很好的注意。 \ alpha ^ {（p）} $和$ t $。你猜怎麼了？對於$ p = 0 $，他們設置$ t_ \ alpha ^ {（0）} = \ hat {t} \ log（t + \ alpha）$。

總而言之，常數的$ 0 $次方為$ 1 $，變量的$ 0 $次方為變量$ \ log $。

參考文獻：

• J。 W. Tukey，探索性數據分析。 Addison-Wesley，1977年。
• G。 E. P. Box和D. R. Cox，轉換分析，《皇家統計學會雜誌》。系列B，1964年。
• 與Stackexchange相關： Tukey探索性數據分析的現代繼任者？

首先，這個問題有點不適。例如，在對數圖中，數量是（log X）km ，而不是 log（X km）。我們需要進一步定義問題：“取對數”是什麼意思？對數或任何此類函數定義為採用實數或複數，並根據特定規則給出新數。給它一個數字以外的東西有點像問“數字三重多少？”；

（考慮將物理量作為對數，三角函數或指數的參數的物理方程式。經驗告訴我們） （在自然界產生的方程式中，指數和函​​數中的數量單位總是結合在一起得出一個無量綱的數字。任何有意義的表達都必須來自物理推理，因此您也需要從物理推理中得出這個問題。）

正如本·克倫威爾在評論中提到的一樣，我敢肯定，有幾種方法可以表示數學中的單位。

我的兩分錢是這是元級別的經典組合。

一公里是在地球地面上的一個距離。當我們製作地圖（相對於實際尺寸的元高度）時，地圖上的長度可能是每10公里1厘米，而我們邁步前進時並不懷疑這是怎麼可能的。這是可能的，因為我們非常清楚地圖的概念是元級別。

假設我們以對數比例繪製地圖（地球上有趣的地圖取決於功能而存在）。這意味著隨著實際（非元數據）以公里為單位的增加，在此地圖上被標記為公里的對數將變大。人們使用元級別來表示具有單位的數量的原因是為了方便起見，將地球投影到飛機上對於我們想要做的事情是方便的，儘管它會扭曲地圖上公里的相對大小，而我們的“直覺”則希望常數

在處理物理方程式中的指數和對數時，我們非常小心地在其中擁有無量綱數。它實際上是平衡單元的工具之一。以玻爾茲曼分佈為例。

不知何故，物理學中的單元總是讓人困惑。擺脫這種困惑的一種簡單方法是認識到將物理學轉化為數學需要將問題轉化為僅處理純（所謂的無量綱）數字的問題。

這很簡單。考慮一個簡單的擺。推導擺錘$ t_ {swing} $的時間段要求我們將問題轉換為數學形式。這迫使我們不使用時間段本身，而是使用無量綱的數量，例如$ t_ {swing} $與其他時間$ t_0 $之間的比率。結果，我們可以得出諸如$$ \ frac {t_ {swing}} {t_0} \ = \ f（.. $$$）的方程。如果是擺錘，問題包含一個平方根形式的時間參數它的長度除以局部重力加速度：$ t_0 = \ sqrt {l / g} $。因此，有人試圖找到一種形式為

$$ \ frac {t_ {swing}} {\ sqrt {l / g}} \ = \ f（..）$$

在分析小擺角時，得出$ f（..）= 2 \ pi $。

在某些其他情況下，問題中可用參數的數量不足以使使方程無量綱。在這種情況下，物理學家會退回到稱為單元的通用物理參數上。它們的唯一目的是使數學方程式中的所有參數無量綱（純數字）。

物理學家經常違反規定無量綱數學的規則。因此，您將看到

$$ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $

等式。嚴格來說，這是不正確的。但是，人們傾向於將其解釋為$$（x / 1m）^ 2 +（y / 1m）^ 2 =（r / 1m）^ 2 $$

（或其他長度）的簡寫分母中的選擇單位）。這使方程式再次成為無量綱的。我會說，實際上的意思是$$（x / r）^ 2 +（y / r）^ 2 = 1 $$

還有

$$ \ ln x-\ ln r = 2 \ pi $$

嚴格來說，這沒有什麼意義。再次，人們可能會將廢話解釋為

$$ \ ln（x / 1m）-\ ln（r / 1m）= 2 \ pi $$

但是真正的意思是

$$ \ ln（x / r）= 2 \ pi $$

最重要的是，在公式中具有裸長度$ x $或裸長度$ r $毫無意義。那裡只有一百萬美元沒有任何意義。儘管具有參數$ \ frac {r} {1 m} $或$ \ frac {x} {r} $確實有意義。情況總是如此，但是當所討論的函數採用對數形式時，這種情況就更加明顯。