槍支在發射的子彈上施加足夠的重力以阻止它嗎？

否。

在足夠長的時間內，子彈會落回到槍上嗎？

否。

或者重力可以達到的距離是否有限制？

否。

但是子彈的速度超過了逃逸速度。請參閱Wikipedia，您可以在其中讀取到給定距離的逃逸速度是通過公式計算的

$$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

想像一下，您以相反的方式播放此場景。您有一枚子彈和一杆槍，相隔不超過數十億光年，相對於另一個不動。您觀察並等待，經過數百萬年的發展，您注意到它們由於重力而相互靠近。 （為簡化起見，我們將說槍是靜止的，子彈朝著槍落下）。又過了無數年的時間，您一直將子彈一直追到炮上，您注意到它們以0.001 m / s的速度碰撞。您檢查一下您的總和，然後得出結論，這是正確的，因為如果槍的重量與地球的5.972×10 $ ^ {24} $ kg一樣大，子彈將會以11.7 km / s的速度與之相撞。逃逸速度是墜落物體從“無限”距離開始的最終速度。如果從地球發射的彈丸的逃逸速度大於逃逸速度，那麼它永遠不會回來。

好的，現在讓我們回到原始場景。您開槍，子彈以1000 m / s的速度離開。當子彈距離我們不遠的時候，其速度已降至999.999 m / s。因為噴槍的逃逸速度為0.001 m / s。槍的重力永遠不會足以阻止子彈，即使它在世界上一直存在，在中國也有喝茶。

正如史蒂芬·馬西（Stephen Mathey）在評論中提到的那樣，對於質量為$ M $且半徑為$ r $的每個物體，必須達到一定的速度才能完全擺脫其重力。這是逃逸速度$$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$其中$ G $是牛頓的重力常數，$ M $是逃避的物體質量，$ r $是必須達到逃逸速度的距質心的距離。

通常，將這一概念應用於行星（或衛星），其中$ r $是行星（月球）的半徑，而逃逸速度是火箭逃離行星（月亮）所需的速度（以Delta-v表示）。在這裡，您可以計算從槍的質心到槍管開口的距離。雖然仍在槍管中，但子彈可能仍會由於氣體膨脹而加速。假設距離為$ 10〜\ mathrm {cm} $。我們還假設這把槍重一公斤。然後，逃逸速度小到$ 37〜\ mu \ mathrm {m} / \ mathrm s $。

所以，是的，那顆子彈肯定不會再回來了。

一個極端的答案：逃生速度大於子彈速度的槍應該有多大？我假設我們使用的是從沙漠之鷹發射的357馬格南，它實際上處於槍口速度刻度的低端至中端：

源： http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

沙漠之鷹的砲管長15厘米。使用其他答案中提供的公式：

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$ span>

填寫數字：

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2 \ times G \ timesM} {0.15 \\ mathrm m}} $$ span> $$（410 \ \ mathrm {m / s}）^ 2 = \ frac {2 \ times G \ times M } {0.15 \ \ mathrm m} $$ span> $$ 1.68 \ times10 ^ 5 \ \ mathrm {m ^ 2 \ s ^ {-2}} = 13 \ \ mathrm {m ^ {-1}} \ times G \ timesM $$ span> $$ M = 1.9 \ times10 ^ {14} \ \ mathrm {kg} $$

注意：我不確定此數字的準確性。我在2個在線計算器中輸入了這些變量。其中一個提出了這個答案（ http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html），另一個提出了一個相同的數字，但是小很多數量級： $ 1889.4434 \ \ mathrm {kg} $ span>（ https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape- velocity.php）。我不確定這兩個數字為何如此不同。

槍的重力將始終在子彈上施加力。子彈將永遠永遠減慢速度。減速速度與距噴槍距離的平方成反比。

邏輯上認為永遠持續減速的事物最終將停止，這是合乎邏輯的。但這並非總是如此。

隨著子彈減速，它失去了動能。可以將其計算為從距離$ r_1 $到$ r_2 $時作用在其上的力的積分。

$$ \ Delta K =-\ int_ {r_1} ^ {r_2} \ frac {GMm} {r ^ 2} \，dr $$

這種能量損失永遠不會為零，但其總和是有界的。 （在邏輯上類似於幾何級數的收斂方式。）如果初始動能大於能量損失的界限，那麼無論經過多少時間，都會有一些剩餘。換句話說，子彈會持續減速，但永遠不會低於一定速度。

其他答案中提到的逃逸速度是子彈具有動能作為能量損失的界限。如果這恰好是初始速度，則子彈將減速並且其速度將趨於零。如果初始速度較高，則子彈的速度將趨於正值。如果初始速度較低，子彈將在一定時間後失去所有速度並開始向後退。

假設槍的質量（$ M $）遠遠大於子彈的質量（$ m $），則子彈上的淨力為：（從槍的框架上）

$$ m \ frac {d ^ 2r} {dt ^ 2} = mv \ frac {dv} {dr} =-\ frac {GMm} {r ^ 2} $$

The從以下事實得出相等性：加速度為$ \ frac {dv} {dt} $，等於$ \ frac {dv} {dr} \ frac {dr} {dt} $，（通過鍊式規則）第二項

積分之後，我們得到：

$$ \ frac {mv ^ 2} {2}-\ frac {GMm} {r} = c $$

如果我們假設子彈停在無限距離處（即，它從槍中逃脫，再也不會返回），那麼當時的能量將為零。

由此，我們得到：

$$ v_i = \ sqrt \ frac {2GM} {r} $$（其中$ r $是距質量中心的距離 b>

這是子彈的逃逸速度。 （就像@Jonas和@Steven Mathey和@John Duffield提到的那樣。）

對於所有大於此的初始速度，來自槍支的引力將無法將子彈退回。考慮到一般將$ v_i $的值與平均子彈速度相比，有多少子彈會逃脫。

（初始假設有助於簡化數學過程，但這並不是荒謬的假設。該假設在數學上相當於說，由於子彈在槍上施加的力，槍根本不會動。）