這是我的答案，基本上是格雷格·格雷維頓（Greg Graviton）答案的擴展版本。
在定義中出現了為什麼人們可以將位置和速度視為自變量的問題拉格朗日$ L $本身，之前使用運動方程，而之前考慮改變動作$ S：= \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ L $，因此與無關與變異演算無關。
I）一方面，讓我們首先考慮拉格朗日函數的作用。在[t_i，t_f] $中給定任意但固定的時間$ t_0 \。 （瞬時）拉格朗日$ L（q（t_0），v（t_0），t_0）$是瞬時位置$ q（t_0）$和瞬時速度$ v（t_0）$在瞬時$ t_0處的函數$。這裡$ q（t_0）$和$ v（t_0）$是獨立變量。請注意，（瞬時）拉格朗日$ L（q（t_0），v（t_0），t_0）$不取決於過去的$ t<t_0 $，也不取決於將來的$ t>t_0 $。 （可能會反對說，速度輪廓$ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}：[t_i，t_f] \ to \ mathbb {R} $是位置輪廓$ q：[t_i，t_f] \ to \ mathbb {R} $的導數，那麼$ q（t_0）$和$ v（t_0）$如何才能成為真正的獨立變量呢？的運動是二階的，一個仍然有權對初始條件進行2個獨立選擇：1個初始位置和1個初始速度。）我們可以為任何其他瞬時$ t_0 \ in [ t_i，t_f] \，。$
II）另一方面，讓我們考慮變化的演算。動作函數$$ S [q]〜：=〜\ int_ {t_i} ^ {t_f } \ mathrm {d} t \ L（q（t），\ dot {q}（t），t）\ tag {1} $$取決於整個（也許是虛擬的）路徑$ q：[t_i，t_f] \ to \ mathbb {R} $。在這裡，時間導數$ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t} $確實取決於函數$ q：[t_i，t_f ] \到\ mathbb {R} \，。$取消動作功能
\ begin {align} 0〜=〜\ delta S〜& =〜\ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left。\ frac {\ partial L（q（t ），v（t），t）} {\ partial q（t）} \ right | _ {v（t）= \ dot {q}（t）} \ delta q（t）+ \ left。\ frac { \ partial L（q（t），v（t），t）} {\ partial v（t）} \ right | _ {v（t）= \ dot {q}（t）} \ delta \ dot {q }（t）\ right] \\ & =〜\ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left。\ frac {\ partial L（q（t），v（t）， t）} {\ partial q（t）} \ right | _ {v（t）= \ dot {q}（t）} \ delta q（t）+ \ left。\ frac {\ partial L（q（t ），v（t），t）} {\ partial v（t）} \ right | _ {v（t）= \ dot {q}（t）} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ delta q（t）\ right] \\ & =〜\ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left。\ frac {\ partial L（q（t），v （t），t）} {\部分q（t）} \右| _ {v（t）= \點{q}（t）}-\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left（\ left。\ frac {\ partial L（q（t），v（t），t）} {\ partial v（t）} \ right | _ {v（t）= \ dot {q}（ t）} \ right）\ right] \ delta q（t）\ end {align} $$ + \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left [\ left。\ frac {\ partial L（q（t），v（t），t）} {\ partial v（t）} \ right | _ {v（t）= \點{q}（t）} \ delta q（t）\ right] \ tag {2} $$
適當的邊界條件導致產生 Euler-Lagrange方程，它是運動方程。
$$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left（\ left。\ frac {\ partial L（q（t），v（t），t）} {\ partial v（t）} \ right | _ {v（t）= \ dot {q}（t）} \ right）〜=〜\ left。\ frac {\ partial L（q（t），v（t），t）} {\ partial q（t）} \ right | _ { v（t）= \ dot {q}（t）}〜。\ tag {3} $$
III）注意
$$ \ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}〜=〜\ dot {v}（t）\ frac {\ partial} {\ partial v（t）} + \ dot {q}（t）\ frac {\ partial} {\ partial q（t）} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ tag {4} $
是 total 時間導數，而不是 explicit 時間導數$ \ frac {\ partial} {\ partial t} $，因此Euler-Lagrange方程（3）實際上是二階常微分方程（ODE），
$$ \ left（\ ddot {q}（t）\ frac {\ partial} {\ partial v（t）} + \ dot {q}（t）\ frac {\ partial} {\ partial q { t）} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ right）\ left。 \ frac {\ partial L（q（t），v（t），t）} {\ partial v（t）} \ right | _ {v（t）= \ dot {q}（t）}〜=〜 \ left。\ frac {\ partial L（q（t），v（t），t）} {\ partial q（t）}
\ right | _ {v（t）= \ dot {q}（t）}〜。 \ tag {5} $$
要解決$ q：[t_i，t_f] \到\ mathbb {R} $的路徑，應指定兩個初始條件，例如$$ q（t_i ）〜=〜q_i \ qquad \ text {and} \ qquad \ dot {q}（t_i）〜=〜v_i。\ tag {6} $$