使用“下降”的定義，較重的物體的下降速度更快，這是一種證明其合理性的方法：在兩體系統（地球的CM和地球的CM的質心）的參照系中考慮情況。例如，無論您要投放什麼內容）。每個對像都對另一個施加力

$$ F = \ frac {G m_1 m_2} {r ^ 2} $$

，其中$ r = x_2-x_1 $（假設$ x_2 > x_1 $）是分隔距離。因此，對於對象1，您有

$$ \ frac {G m_1 m_2} {r ^ 2} = m_1 \ ddot {x} _1 $$

，對於對象2，

$$ \ frac {G m_1 m_2} {r ^ 2} = -m_2 \ ddot {x} _2 $$

由於對象2在右側，因此它被拉向左，朝負方向。取消常見因素並將其加總，即可得到

$$ \ frac {G（m_1 + m_2）} {r ^ 2} =-\ ddot {r} $$

因此很明顯，當總質量更大時，加速度的大小也就更大，這意味著物體聚在一起所需的時間更少。如果您想從數學上看這件事，請將方程式的兩邊乘以$ \ dot {r} \ mathrm {d} t $即可得到

$$ \ frac {G（m_1 + m_2）} { r ^ 2} \ mathrm {d} r =-\ dot {r} \ mathrm {d} \ dot {r} $$

並進行積分，

$$ G（ m_1 + m_2）\ left（\ frac {1} {r}-\ frac {1} {r_i} \ right）= \ frac {\ dot {r} ^ 2-\ dot {r} _i ^ 2} {2 } $$

假設$ \ dot {r} _i = 0 $（對像從相對靜止開始），您可以將其重新排列為

$$ \ sqrt {2G（m_1 + m_2）} \ \ mathrm {d} t =-\ sqrt {\ frac {r_i r} {r_i-r}} \ mathrm {d} r $$

，其中我選擇了負數平方根，因為$ \ dot {r} < 0 $，然後再次將其集成以找到

$$ t = \ frac {1} {\ sqrt {2G（m_1 + m_2）}} \ biggl（ \ sqrt {r_i r_f（r_i-r_f）} + r_i ^ {3/2} \ cos ^ {-1} \ sqrt {\ frac {r_f} {r_i}} \ biggr）$$

其中$ r_f $是最終的中心距。請注意，$ t $與總質量成反比，因此較大的質量可以縮短碰撞時間。

在諸如地球和保齡球之類的情況下，一個群眾要大得多，$ m_1 \ gg m_2 $。因此，您可以使用泰勒級數來近似$ t $的質量依賴性，

$$ \ frac {1} {\ sqrt {2G（m_1 + m_2）}} = \ frac {1} {\ sqrt {2Gm_1}} \ biggl（1-\ frac {1} {2} \ frac {m_2} {m_1} + \ cdots \ biggr）$$

開頭的術語完全獨立於$ m_2 $（保齡球的質量或其他），這就是為什麼我們可以說，以領先的近似值，所有物體以相同的速率落在地球表面上。對於可能掉落的典型物體，第一個校正項的大小為幾千克除以地球質量，總計為10 ^ {-24} $。因此，忽略地球運動而引入的不精確度大約是萬億兆兆分之一，遠遠超出了當今任何存在（甚至可以想像）的測量設備的靈敏度。

出現悖論是因為地球的“靜止框架”不是慣性參考框架，而是在加速。保持自己處於CM參考系中，至少對於兩個身體而言，沒有任何悖論。給定質量為M的地球，質量為$ m_i $的物體將朝質量中心$ x_ \ textrm {CM} =（M x_M + m_i x_i）/（M + m_i）$落入，加速度為$ GM /（ x_i-x_M）^ 2 $。請注意，$ \ ddot x_ \ textrm {CM} = 0 $

實際上我們只隱藏了悖論，因為每個$ m_i $當然$ x_ \ textrm {CM} $是不同的。但這是在一個合理的慣性系中解決問題的第一步。

如果要擺脫$（x_i-x_M）$，悖論會再次浮出水面。在大多數應用中，既然您使用的是非加速參考系統，則需要考慮與其相關的距離，即$ x_i-X_ \ textrm {CM} $。解決的辦法是重新定義質量。由於$ x_i-x_ \ textrm {CM} = M（x_i-x_M）/（M + m_i）$，我們可以說對象$ i $以加速度$ G {M ^ 3 \ over （M + m_ i）^ 2} {1 \ over（x_i-x_ \ textrm {CM}）^ 2} $您可以說“質心地球”的實際質量就是這種校正。

一旦遇到改變質量值的技巧，您仍然可以堅持地球的參考系。在此參考系中，力與加速度之間的商為$ Mm_i / M + m_i $。您可以聲稱這是計算過程中身體的實際質量。這稱為系統的減少質量 $ m_r $，您可以看到，對於小的$ m_i $，它幾乎等於$ m_i $本身。您可以將減少的質量$ m_r $與原始質量結合使用來寫一些以前的公式，例如，上面的$ {M ^ 3 \ over（M + m_ i）^ 2} = M {m_r ^ 2 \超過m ^ 2} $，但我不確定它的用處。無論如何，您都會看到“重量越重意味著速度越快”是正確的，但它得到了很好的管理。

對於m_1和m_2落入M的三個對象，問題是如何將情況與落入M的m_1 + m_2進行比較。您將內部力（介於1和2之間，外部力）與M分開。點$ x_0 = {m_1 x_1 + m_2 x_2 \ over m_1 + m_2} $。在這一點上，它不是由內力加速的。外力將它們移動為$$ \ ddot x_0 = {1 \ over m_1 + m_2} \ left（m_1 {GM \ over（x_1-x_M）^ 2} + m_2 {GM \ over（x_2-x_M）^ 2 } \ right）= {F_1 + F_2 \ over m_1 + m_2} $$

這已經變得很長了……¡我不能將所有原理都放在一個答案中！因此，您可以忘記所有以前的內容，認為這只是修正符號並獲得一些實踐的一種方法，請閱讀 answer ：

如果這兩個主體位於在“外部”地球距離相同的情況下，它們遭受相同的外部加速度$ g = GM /（x-x_M）^ 2 $，並且對於$ x_0 $也會發生相同的情況。如果兩個物體都近似為$ g $可以視為常數，這是伽利略最初考慮的情況（以及現代的$ g = 9.8〜{\ rm m / s ^ 2} $），則它們具有相同的值加速度-以及組合位置$ x_0 $-。如果它們不是在相同的距離處，也不是在恆定的-處處均等的近似值，那麼您仍然可以保存$ x_0 $的運動以使其對某些單個質量$ m_T $來說是重力，但是方程的操縱將在$ x_1 $和$ x_2 $的相對位置產生大約$ 1 /（x_0-x_M）^ 3 $的一些加速度。這種力量就是“ 潮汐力量”。

除了已經給出的答案外，這也許也很有趣：

當錘子和羽毛同時掉落時，它們會同時到達，當錘子和羽毛同時掉落時，錘子比羽毛更能吸引行星，所以沒錯，錘子直到撞擊的總時間更短了。

如果您拿起錘子並讓其落在地面上，而羽毛仍在地面上，並且其質量增加了地球的質量（忽略了不均勻性），則花費的時間與您拾起羽毛並讓其掉落的時間相同因為m1 + m2 + m3 =恆定，所以當錘子落在地面上時它會掉落，其質量增加到行星上。

當同時放下錘子和羽毛時，羽毛將同時行進更長的距離，因此比錘子要快，因為行星朝錘子的運動比向羽毛的運動更多，並且吸引了羽毛以最大的質量求和。

點質量的初始距離為1米；在第一個示例中，您有1000kg對100kg對1kg，在第二個示例中，有1000kg對666.×6kg對500kg。如您所見，“錘子”和“羽毛”是同時到達的：

答案是肯定的：原則上會有這樣的效果。當然，當所墜落物體的質量小於行星的質量時，其影響當然很小，但原則上就在那裡。

我同意。我的理解也一樣。

假設地球，火星和月亮的大小相同-如果將地球和火星懸掛在太空中（火星落在地球上），它們就會來接觸的速度比-如果地球和月亮要懸浮在太空中（月球落在地球上），原因是火星會使地球比月亮更向地球加速。前提是兩個物體之間的距離最初是相同的。在任何給定距離上，地球都會以相同的速率吸引地球。

我還發布了此處，涉及到涉及三個物體時首先倒下的東西，問我是否理解是正確的。這是經典的蘋果羽毛實驗。我希望它能澄清@KeithThompson的上述問題。

免責聲明

我不是物理學家，我只是“工程師”。

不知道這是否可以作為答案，但是至少我使用了一些塗鴉：)。

我將這樣描述（一維）情況：

• 有兩個具有質量的對象 $ m_1 $ span>和 $ m_2 $ span>。中間的點是每個物體的質心。
• 質心之間的距離表示為 $ r $ span>。
• 還有一個根本沒有加速的參照系（所謂的慣性參照系）。
• $ F $ span>力將兩個物體彼此吸引，該力由牛頓萬有引力定律描述。 li>

每個對象的絕對加速度 $ \ ddot {x} _1 $ span>和 $ \ ddot {x} _2 $ span>可以表示為：

測量
• $ \ ddot {x} _1 $ span>和 $ \ ddot {x} _2 $ span>相對於慣性參照系。
• 加速度與相對索引的質量（ $ \ sim $ span>）成比例（ $ 1 \ to2 $ 和 $ 2 \ to1 $ span>）。
• 關閉加速度 $ a_ {closing} $ span>（或彼此接近的加速度）與 $ m_1 $ span>和 $ m_2 $ span>。

是的，從相同高度掉落的重物會比輕物掉落得更快。在任何一個對象的其餘幀中都是如此。您可以從$ F = GmM / r ^ 2 = m \ cdot a = m \ cdot d ^ 2r / dt ^ 2 $看到這一點。

最快的“下降”（因為我們正在重新定義掉落的物體是一個沒有質量的光子。

兩點質量的自由下落時間為$ t = \ frac {\ pi} {2} \ sqrt {\ frac {r ^ 3} {2 G（m1 + m2）}} $。

自由落體時間取決於兩個質量的 sum 。對於給定的總質量，自由下落時間與兩個質量之比無關。無論m _{1 sub> = m 2 sub>還是m 1 sub> >> m 2 sub>，自由落體時間都是相同的。}

當將物體 撿起 然後下降時，跌落到地球的時間不會 取決於物體的質量。如果您舉起一個乒乓球然後放下它，則它需要花費與保齡球一樣的時間落到地球上。將地球分為兩個質量不會改變這些質量的總和或自由下落的時間。

但是，當帶 外部物體 時到地球上方一定高度然後下降，自由下落時間確實取決於外部物體的質量。因為地球和外部物體的總和顯然取決於外部物體的質量。

“相對於地球，大多數物體以相同的速度落在地球上，因為地球的與大多數墜落物體的質量m相比，質量M非常大。物體和地球分別朝著它們共同的質心墜落，在大多數情況下，它們相對於地球大致相同。自由落體實驗的結果取決於落體是起源於地球，是地外的，是連續的還是同時的，或者對於重合或分離的物體是同時發生的，等等。當下落的物體起源於地球時，所有物體都在相對於地球的速率相同，因為m + M保持恆定。
- ArXiv：與量子引力論不同

假設：
地球是孤立的（沒有月亮，太陽等）。
地球是不旋轉的。
地球沒有大氣層。 （一個熱氣球會比它所置換的大氣密度低，因此會向上掉落。）

同時放下5磅重的鐵製槓鈴和25磅重的鐵製槓鈴。會同時落地。唯一可能的警告是特德·布恩（Ted Bunn）在上方產生的後坐力。

讓我們保持簡單。打開我1964年的教科書，《物理學，第四版》，Hausmann & Slack，紐約Nostrum公司，1957年。當我們考慮日常物體在地球表面附近自由下落的定律時（我們唯一的參考框架） ，所有其他力都已消除或抵消，我們已進入牛頓物理學領域。

F = G（Mm）/ r ^ 2;其中G是重力常數，M是地球的質量，m是物體的質量，r是地球的半徑。

根據定義，當物體靜止在地球表面時，物體的重量W是方程式F = ma中的排斥力，而a = g是重力引起的加速度。因此，W ＝ mg，g ＝ W / m。代入兩個物體之間的一般重力方程，我們得到：

W = G（Mm）/ r ^ 2，因此W / m = GM / r ^ 2

因此，W / m是一個常數！因此，不管地球表面附近的質量如何，物體都會以相同的加速度掉落。

讓我在那裡擔心了一會兒：）

一個簡單的解釋是，加速具有更大質量的物體需要花費更多的力。A= F / M ....或者俱有恆定的力，加速與質量成反比。這是慣性的結果。

較大的質量（重物）掉落需要更大的力才能加速；另外，更大的質量會施加更大的重力。

將牛頓第二定律設置為引力定律燭台質量，因此使MASS與兩個與重力相關的物體的加速無關。