此答案部分與Motl的不同。關鍵是要考慮阿貝爾和非阿貝爾之間的區別。我完全同意Motl在非阿拉伯事件中的回答-在這些事件中，這些身份通常被稱為Slavnov-Taylor而不是Ward的身份，因此，我將提及阿拉伯案例。

首先，對術語進行一些說明：沃德恒等式是經典物理學中（第一個和第二個）諾瑟定理的量子對應。它們適用於整體對稱和規範對稱。但是，該術語通常是為QED中的量規對稱性保留的。在規範對稱的情況下，沃德身份產生真實身份，例如$ k ^ {\ mu} \ mathcal M _ {\ mu} = 0 $，其中$ \ mathcal M _ {\ mu} $由$ \ mathcal M定義QED中的= \ epsilon _ {\ mu} \，\ mathcal M ^ {\ mu} $告訴我們，與光子傳播平行的光子偏振不影響散射幅度。但是，在全局對稱的情況下，沃德恒等式反映了該理論的特性。例如，洛倫茲不變量理論的S矩陣也是洛倫茲不變量，或者在初始狀態下，帶有初始狀態的粒子減去反粒子的數量與最終狀態相同（獨立於時空的點） ）$ U（1）$相位不變。

讓我們研究最小矢量與守恆電流耦合的大矢量場的情況：

$$ \ mathcal L =-{1 \超過4} \，F ^ 2 + {a ^ 2 \超過2} A ^ 2 + i \，\ bar \ Psi \ displaystyle {\ not} D \，\ Psi-{m ^ 2 \超過2} \ bar \ Psi \ Psi \\ =-{1 \ over 4} \，F ^ 2 + {a ^ 2 \ over 2} A ^ 2 + i \，\ bar \ Psi \ displaystyle {\ not} \ partial \，\ Psi-{m ^ 2 \ over 2} \ bar \ Psi \ Psi-e \，A _ {\ mu} \，j ^ {\ mu} $$

請注意，該理論具有全局階段不變性$ \ Psi \ rightarrow e ^ {-i \ theta} \，\ Psi $，具有Noether電流

$$ j ^ {\ mu} = {\ bar \ Psi \，\ gamma ^ {\ mu}} \，\ Psi $$

（通常）$ \ partial _ {\ mu} \，j ^ {\ mu} = 0 $。除了這種對稱性外，眾所周知的是，上述拉格朗日方程等效於一個理論：i）對於矢量場沒有明確的質量項。 ii）包含一個標量場（類似於希格斯場），該標場不同於零真空期望值，該標場會自發地破壞$ U（1）$規規對稱性（此對稱性是 not 規規的$前面提到的U（1）$全局對稱性）。當真空期望值變為無窮大且矢量場與希格斯式標量之間的耦合變為零時，等效值處於極限。由於必須取最後一個極限，因此電荷不能被量化，因此，$ U（1）$規的對稱性在拓撲上必須等於實數的加法，​​而不是複數與單位模數（周長）的乘積。兩組之間的差異僅是拓撲上的（這是否意味著以下差異不相關？）。該機制歸因於Stueckelberg，我將在答案末尾對其進行總結。

在初始或最終狀態下存在大塊矢量粒子的過程中，LSZ還原公式給出： / p>

$$ \ langle i \，| \，f \ rangle \ sim \ epsilon _ {\ mu} \ int d ^ 4x \，e ^ {-ik \ cdot x} \，\ left（\ eta ^ {\ mu \ nu}（\ partial ^ 2-a ^ 2）-\ partial ^ {\ mu} \ partial ^ {\ nu} \ right）... \ langle 0 | \ mathcal {T} A_ { \ nu}（x）... || 0 \ rangle $$

從上面的拉格朗日算式中，可以得到以下經典運動方程

$$ \ left（\ eta ^ {\ mu \ nu}（\ partial ^ 2-a ^ 2）-\ partial ^ {\ mu} \ partial ^ {\ nu} \ right）A _ {\ nu} = ej ^ {\ mu} $$

然後量子地

$$ \ left（\ eta ^ {\ mu \ nu}（\ partial ^ 2-a ^ 2）-\ partial ^ {\ mu} \部分^ {\ nu} \ right）\ langle 0 | \ mathcal {T} A _ {\ nu}（x）... | 0 \ rangle = e \，\ langle 0 | \ mathcal {T} j ^ {\ mu}（x）... || 0 \ rangle + \ text {聯繫方式，對S-matrix無貢獻} $$

因此

$$ \ langle i \，| \，f \ rangle \ sim \ epsilon _ {\ mu} \ int d ^ 4x \，e ^ {-ik \ cdot x} \，... \ langle 0 | \ mathcal {T} j ^ {\ mu}（x）... | 0 \ rangle + \ text {沒有幫助的聯繫條款} \ sim \ epsilon _ {\ mu} \ mathcal {M} ^ {\ mu} $$

如果將$ \ epsilon _ {\ mu} $替換為$ k _ {\ mu} $，則可獲得

$$ k _ {\ mu} \ mathcal { M} ^ {\ mu} \ sim k _ {\ mu} \ int d ^ 4x \，e ^ {-ik \ cdot x} \，... \ langle 0 | \ mathcal {T} j ^ {\ mu }（x）... || 0 \ rangle $$

使用$ k _ {\ mu} \ sim \ partial _ {\ mu} \ ,, e ^ {-ik \ cdot x} $ ，按部分積分並獲取表面項（平面波是一種理想化，實際上是一個波包，在空間無窮大時變為零），一個得到

$$ k_ {\ mu} \ mathcal {M} ^ {\ mu} \ sim \ int d ^ 4x \，e ^ {-ik \ cdot x} \，... \，\ partial _ {\ mu} \，\ langle 0 | \ mathcal {T} j ^ {\ mu}（x）... | 0 \ rangle $$

現在可以將Ward身份用於 global $ \ Psi \ rightarrow e ^ {-i \ theta} \，\ Psi $對稱（通常$ \ partial _ {\ mu} \，j ^ {\ mu} = 0 $超過此問題的解，$ \ Psi $，動作）

$$ \ p artial _ {\ mu} \，\ langle 0 | \ mathcal {T} j ^ {\ mu}（x）... | 0 \ rangle = \ text {聯繫方式，對S-matrix無貢獻} $$

因此，

$$ k ^ {\ mu} \ mathcal M _ {\ mu} = 0 $$

與無質量情況相同

請注意，在此推導中，至關重要的是矢量場的顯式質量項不會破壞全局$ U（1）$對稱性。這也與以下事實有關：可以通過與隱藏的（類似於希格斯的場與理論的其餘部分解耦）的類似希格斯的機制獲得的矢量場的顯式質量項。對稱。

更仔細的計算應在相互作用理論中包括反條件，但是我認為這與無質量情況相同。我們可以將此答案中的字段和參數視為裸露的字段和參數。

Stueckelberg機制

請考慮以下拉格朗日

$$ \ mathcal L =-{1 \ over 4} \ ,, F ^ 2 + | d \ phi | ^ 2 + \ mu ^ 2 \，| \ phi | ^ 2- \ lambda \，（\ phi ^ * \ phi）^ 2 $$

其中$ d = \ partial-ig \，B $和$ F $是$ B $的場強（法拉第張量）。

$$ B \ rightarrow B +（1 / g）\ partial \ alpha（x）$$$$ \ phi \ rightarrow e ^ {i \ alpha（x }} \ phi $$

讓我們對標量字段$ \ phi $進行極地參數化：$ \ phi \ equiv {1 \ over \ sqrt {2}} \ rho \，e ^ {i \ chi} $，因此

$$ \ mathcal L =-{1 \ over 4} \ ,, F ^ 2 + {1 \ over 2} \ rho ^ 2 \，（\ partial _ {\ mu } \ chi-g \，B _ {\ mu}）^ 2+ {1 \ over 2}（\ partial \ rho）^ 2 + {\ mu ^ 2 \ over 2} \，\ rho ^ 2- {\ lambda \ over 4} \ rho ^ 4 $$

我們現在可以重新定義以下字段$ A \ equiv B-（1 / g）\ partial \ chi $，並註意$ F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} B _ {\ nu}-\ partial _ {\ nu} B _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu}-\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} $也是$ A $

$$ \ mathcal L =-{1 \ over 4} \，F ^ 2 + {g ^ 2 \ over 2} \ rho ^ 2 \的場強， A ^ 2 + {1 \ over 2}（\ partial \ rho）^ 2 + {\ mu ^ 2 \ over 2} \，\ rho ^ 2-{\ lambda \ over 4} \，\ rho ^ 4 $$

如果$ \ rho $的真空期望值不同於零$ \ langle 0 | \ rho | 0 \ rangle = v = \ sqrt {\ mu ^ 2 \ over \ lambda} $，則為然後方便地寫$ \ rho（x）= v + \ omega（x）$。因此，

$$ \ mathcal L =-{1 \ over 4} \，F ^ 2 + {a ^ 2 \ over 2} \，A ^ 2 + g ^ 2 \，v \，\ omega \，A ^ 2 + {g ^ 2 \ over 2} \，\ omega ^ 2 \，A ^ 2 + {1 \ over 2}（\ partial \ omega）^ 2-{\ mu ^ 2 \ over 2 } \，\ omega ^ 2- \ lambda \，v \ omega ^ 3-{\ lambda \ over 4} \，\ omega ^ 4 + {v ^ 4 \，\ lambda ^ 2 \ over 4} $$

其中$ a \ equiv g \ times v $。如果現在取極限$ g \ rightarrow 0 $，$ v \ rightarrow \ infty $，將乘積$ a $保持不變，我們得到

$$ \ mathcal L =-{1 \超過4} \，F ^ 2 + {a ^ 2 \超過2} \，A ^ 2 + {1 \超過2}（\ partial \ omega）^ 2-{\ mu ^ 2 \超過2} \，\ omega ^ 2- \ lambda \，v \ omega ^ 3-{\ lambda \ over 4} \，\ omega ^ 4 + {v ^ 4 \，\ lambda ^ 2 \ over 4} $$

也就是說，$ A $和$ \ omega $之間的所有交互作用項都消失了，因此$ \ omega $成為了一個無限質量的自動交互場，與理論的其餘部分解耦，因此它不會不起作用。因此，我們恢復了開始時的龐大矢量場。

$$ \ mathcal L =-{1 \ over 4} \，F ^ 2 + {a ^ 2 \ over 2} \，A ^ 2 $$

在非阿貝爾規範理論中，必須是非線性項，例如$ \ sim g A ^ 2 \，\ partial A \; $，$ \ sim g ^ 2 A ^ 4 $，這使我們無法取極限$ g \ rightarrow 0 $。

讓我花了一段時間閱讀L.Brown的“量子場論”之後嘗試回答自己的問題，但是我不會堅持他的說法。

讓我澄清一下我將使用的術語：“通用病房標識（ GWI ）”是指$（lk）_ \ mu \ Gamma ^ \ mu（ k，l）= iS ^ {-1}（k'）-iS ^ {-1}（l）$，其中$ \ Gamma ^ \ mu（k，l）$是電子-電子-光子頂點函數， $ S $是（完整的）電子電子傳播子。稍後我將詳細介紹。 “ Ward identity（ WI ）”（Ward身份（ WI ））是指在GWI中讓$ l \ to k $的特殊情況； “ Ward-Takahashi Identity（ WTI ）”是指$ k_ \ mu {\ mathcal M} ^ \ mu（k）= 0 $。

當我問時我應該承認這個問題，以及當我說“ ...聲稱沃德身份是理論上的尺度不變性的結果。”時，我不知道他們指的是三種身份中的哪一種，但現在至少我可以說出GWI實際上是軌距不變而不是全局相位對稱的結果。簡而言之，如果將GWI中的γ作為不適當的頂點（即1粒子可還原的頂點），則GWI保留了關於電流守恆（或全局相位對稱）的理論。但是，對於具有規範對稱性的理論，我們得到了更強的GWI，即GWI不僅適用於不正確的頂點，還適用於適當的頂點（即1粒子不可約頂點）。

不正確頂點的GWI

首先讓我們看一下如何獲取GWI進行當前守恆，這裡我將基本上從Weinberg Vol I第10章中進行複制。考慮真空時間訂購產品$ \ langle \ mathcal {T} \ {J ^ \ mu（x）\ Psi_n（y）\ bar {\ Psi} _m（z）\} \ rangle $。以圖解方式，這是所有帶有1個外部光子傳播器和2個外部電子傳播器，但裸露的外部光子傳播器被剝離的示意圖的總和。現在，溫伯格通過

$$ \ int d ^ 4xd ^ 4yd ^ 4ze ^ {-ipx} e ^ {-iky} e ^ {ilz} \ langle \ mathcal {T} \ {J ^ \ mu（x）\ Psi_n（y ）\ bar {\ Psi} _m（z）\} \ rangle \ equiv-iqS_ {nn'}（k）\ Gamma ^ \ mu_ {n'm'}（k，l）S_ {m'm}（l ）\ delta ^ 4（p + kl）$$

其中$ S_ {nm} $是$ \ mathcal {T} \ {\ Psi_n（y）\ bar {\ Psi}的傅立葉變換_m（z）\} \ rangle $（並省略德爾塔函數），因此它是全電子傳播器。現在我們可以看到$ \ Gamma ^ \ mu $是剝去2個全電子傳播子和1個裸光子傳播子後的頂點函數，因此沿光子線可還原為1個粒子（即仍包含光子真空極化校正） ），因此不正確。涉及的圖為：

其中的虛線表示該線已被剝去，並且$ \ Gamma ^ \ mu_P $表示適當的頂點，我們可以獲得$ \ Gamma ^ \ mu_P $如果我們可以進一步剝離光子真空極化部分。其餘的基本上是從計算$ \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ mu} \ langle \ mathcal {T} \ {J ^ \ mu（x）\ Psi_n（y）\ bar {\ Psi} _m（ z）\} \ rangle $，應用$ \ partial_ \ mu J ^ \ mu = 0 $，然後進行傅立葉變換。

適當頂點的GWI

現在，我將主張具有局部規範不變性的理論，GWI也適用於適當的頂點$ \ Gamma ^ \ mu_P $。這個想法是將$ \ Gamma ^ \ mu_P $與$ \ Gamma ^ \ mu $隔離開來。從第二個圖可以很容易地看出，我們可以先添加裸光子傳播器（用$ G_0 ^ {\ mu \ nu} $表示），然後刪除完整的光子傳播器$ G ^ {\ mu \ nu} $，即

$$ \ Gamma ^ \ mu_P（k，l）= G ^ {-1}（p）^ \ mu _ {\ \ \ nu} G_0 ^ {\ nu \ rho}（p）\ Gamma_ \ rho（k，l），$$，其中$ p = lk $。

因此，為了模擬GWI的LHS，我們有$$（lk）_ \ mu \ Gamma ^ \ mu_P（k，l）= p_ \ mu G ^ {-1}（p）^ \ mu _ {\ \ \ nu} G_0 ^ {\ nu \ rho}（p）\ Gamma_ \ rho（k，l）\ cdots \ cdots（*）。$$現在是尺度不變性起作用的地方：

$$ \ text {聲明：量規不變} \暗示p_ \ mu G ^ {-1}（p）^ \ mu _ {\ \ \ nu} G_0 ^ {\ nu \ rho}（p）= p ^ \ rho。$$

如果該陳述為真，我們立即從等式$（*）$中得到$$ p_ \ mu \ Gamma ^ \ mu_P（k，l）= p_ \ rho \ Gamma ^ \ rho（k，l）， $$，由於GWI持有$ \ Gamma ^ \ rho（k，l）$，因此從這裡我們可以得出結論，它也持有$ \ Gamma ^ \ mu_P（k，l）$。

這裡是上面的陳述的證明的草圖：使用量規參數$ \ xi $，我們可以將裸傳播子的逆寫為$$ G ^ {-1} _0（p）_ {\ mu \ nu} =（g_ {\ mu \ nu} p ^ 2-p_ \ mu p_ \ nu）-\ frac {1} {\ xi} p_ \ mu p_ \ nu。$$由於規格不變，完整的傳播者僅與裸傳播者不同在橫向部分中保留一個，而在縱向部分中保留相同，即$$ G ^ {-1}（p）_ {\ mu \ nu} = {g _ {\ mu \ nu} p ^ 2-p_ \ mu p_ \ nu）F（p ^ 2）-\ frac {1} {\ xi} p_ \ mu p_ \ nu。$$這個定理本身包含另一個不太簡短的證明，可以在Brown的書中找到，無論如何，關鍵是要證明它需要局部對稱，全局對稱是不夠的。插入這兩個傳播子的一般形式，可以很容易地證明這一說法。

這與沒有規範不變性的理論形成了對比（例如，可以通過替換$ \得到大矢量場的傳播子。 frac {1} {\ xi} \到m ^ 2 $），在那裡完整的傳播者也會改變縱向部分，因此它變為$$ G ^ {-1}（p）_ {\ mu \ nu} =（ g _ {\ mu \ nu} p ^ 2-p_ \ mu p_ \ nu）F（p ^ 2）-\ frac {1} {\ xi} H（p ^ 2）p_ \ mu p_ \ nu，$$然後如果您在語句中執行計算，則會得到類似$ p_ \ mu G ^ {-1}（p）^ \ mu _ {\ \ \ nu} G_0 ^ {\ nu \ rho}（p）= H（p ^ 2）p ^ \ rho $（或者也許$ \ frac {1} {H（p ^ 2）} p ^ \ rho $不太記得了）。然後將適當的頂點GWI修改為$$ p_ \ mu \ Gamma ^ \ mu_P（k，l）= H（p ^ 2）[iS ^ {-1}（k'）-iS ^ {-1}（ l）]，$$不太好，例如，對於正確的頂點，無法獲得良好的重歸一化關係$ Z_1 = Z_2 $。同樣，這意味著在規範理論中，我們可以與真空極化分開考慮（適當的）頂點重歸一化，而在大規模矢量理論中，必須考慮真空極化。

PS ：布朗還通過使用有效動作技術以“較短”的方式給出了適當頂點WI的第二個證明。但是，它需要更多有關有效措施的初步知識，並且在對比GWI中量規不變性和電流守恆的作用時也不太方便，因此我在這裡沒有採用該方法。

沃德的身份源自規範的對稱性，有可能看到這些東西而無需提及任何最新信息。沃德恒等式表示$ k_ \ mu {\ mathcal M} ^ \ mu（k）= $$實際上表示規範玻色子的縱向極化，其純正極化矢量與動量成正比，$ \ epsilon_ \ mu \ sim k_ \ mu $，“解耦”，即它與任何物理粒子集合的相互作用（散射振幅）消失。

這種消失意味著對稱-現在是的，$ k_ \ mu {\ mathcal M} ^ \ mu（k）$也可以解釋為一個相關器，包括$ \ partial_ \ mu J ^ \ mu $，一個守恆電流–這種對稱性是一個規範對稱性，因為規範字段可能只有一個非零的$ k ^ \ mu $，即如果我們允許對稱參數依賴於時空，則依賴於時空。

具有額外$ m ^ 2 A ^ \ mu A_ \ mu $等的字段不再與保守的電流，因為該電流被額外的$ m ^ 2 A_ \ mu $修改-因為這是在您剛剛添加的術語中乘以$ A_ \ mu $的一個因素-這也意味著Ward身份將不成立如果你破壞了象徵以這種顯式方式進行測度（如果您自發地破壞對稱性，而沒有明確地破壞對稱性，則Ward身份將破壞“ 更多可控制的”，因為整個拉格朗日式仍具有軌距對稱性，即軌距場與守恆電流耦合）