我將嘗試逐點解決這個問題。

因此，我們在給定頻率下輻射的能量為$ E（\ omega）$。

實際上，不，我們每單位頻率有一個能量。就像密度。對於質量密度$ \ rho $，您有一個單位體積的質量，並且密度隨位置的不同而變化，因此要獲得總質量，您需要將空間分成一堆小體積，每個小體積的密度常數為在一定的容差範圍內，然後取該密度和該體積並將它們相乘得到該塊的質量，然後將所有塊相加，即$ m = \ iiint \ rho dx dy dz $。類似地，您擁有能量$ U $和能量密度$ u $。但是它們有多種，您可以具有每單位波長的能量$ u_ \ lambda $或每單位頻率的能量$ u_ \ nu $，而這兩種不同的能量密度（每波長和每頻率）甚至沒有相同的單位。對於每個波長$ u_ \ lambda $的能量，可以將所有可能的波長都切成小段，將每個間隔的密度$ u_ \ lambda $改變不大，然後將密度$ u_ \ lambda $乘以$ \ Delta \ lambda $的波長間隔獲得$ u_ \ lambda \ Delta \ lambda $的總能量$ dU $，然後將總間隔中的每一個相加即可得到總能量：

$$ U = \ int_0 ^ \ infty u_ \ lambda d \ lambda。$$

對於頻率，您將總頻率範圍設為$（0，\ infty） $，將間隔切成小塊，每一個的密度$ u_ \ nu $不變不大，然後將密度$ u_ \ nu $乘以小塊$ \ Delta \ nu $的頻率間隔即可得到$ u_ \ nu \ Delta \ nu $該塊的總能量，然後將其與總間隔中的每塊$ dU $相加即可得到總能量：

$$ U = \ int_0 ^ \狡猾的u_ \ nu d \ nu。$$

您甚至可以反向執行此操作。取所有頻率的間隔並將其分解成碎片，然後為每個碎片取該碎片中的總能量$ dU $，並將其除以碎片$ \ Delta \ nu $的大小即可得出$ dU / \ Delta \ nu $，請注意，當$ \ Delta \ nu $足夠小時，商$ dU / \ Delta \ nu $不再改變（當您考慮較小的頻率範圍時，$ dU $也將變小）。商就是能量密度$ u_ \ nu $。

如果這樣做，您會發現在整個間隔中的任何一塊，在間隔$ dU $中都有一個真實的能量，並且有一個真正的較低頻率（高波長）和一個真正的較高頻率（低波長），您認為一切都很好。唯一的區別是波長間隔的長度與頻率間隔的長度不同。

例如，如果您的頻率從1Hz變為2Hz，則$ \ Delta \ nu = $ 2Hz-1Hz = 1Hz，因此得到$ u_ \ nu = dU / \ Delta \ nu = dU / $ 1Hz。對於完全相同的頻率間隔，存在一個波長間隔，該波長間隔覆蓋了總數的同一部分。由於$ \ lambda \ nu = c $（由於使用角頻率，您的方程式偏離了$ 2 \ pi $倍），因此我們有一個較低的波長$ c / 2Hz $和一個較高的波長c $ / 1Hz $ ，這些是波長，並具有波長單位，在這種情況下，約為$ 1.5 \ times10 ^ 8 m $。相同的$ dU $被1Hz除以得到$ u_ \ nu $，但是被$ 1.5 \ times10 ^ 8 m $除以得到$ u_ \ lambda $，這似乎沒什麼大不了的。但是，如果您的頻率範圍是從$ 2 Hz $到$ 3 Hz $，那麼該範圍會有一個新的$ dU $。並且$ \ Delta \ nu $再次為$ 3Hz-2Hz = 1Hz $，但是$ \ Delta \ lambda $等於$ c / 2Hz-c / 3Hz $，大約是$ 5 \ times10 ^ 7 m $。因此，完全相同的能量比特dU $被較小的波長范圍所除，因此對於完全相同的物理波間隔$ u_ \ lambda $大於$ u_ \ nu $（大於略有不同的波長間隔在頻率空間上一樣長）。涉及的能量$ dU $始終是完全相同的，並且截止波長服從$ \ lambda \ nu = c $，但是$ \ Delta \ lambda $和$ \ Delta \ nu $的間隔不同。因此密度是不同的，因為密度是每個波長（或每個頻率的能量）的實際能量$ dU $與實際能量與$ \ Delta \ lambda $（或$ \ Delta \ nu $）的比率。

現在此函數在某處具有最大值，因此在某個頻率下發出的能量最大。

函數不是某個頻率的能量，而是能量$ dU $除以所討論的頻率間隔的長度$ \ Delta \ nu $。這不是能量。對於相同大小的$ \ Delta \ nu $，$ dU $變得大於任何其他$ dU $的最大值。想像一下，採用一個非常小的間隔$ \ Delta \ nu $，並將其移動到不同的位置（但保持相同的大小），直到找到該間隔的$ dU $最大的位置。這就是密度達到最大的意思。這就是固定頻率擴展的頻率窗口提供最多能量的頻率。這些固定頻率擴展的窗口（例如1Hz或1 mHz或一個$ \ mu $ Hz）在將其移動到不同位置時沒有固定的波長擴展，因此與每個波長的密度無關

要找出$ u_ \ lambda $的最大值，請注意，這是能量$ dU $除以相關頻率間隔的長度$ \ Delta \ lambda $。這不是能量。對於相同大小的$ \ Delta \ lambda $，$ dU $變得大於任何其他$ dU $的最大值。想像一下，採用一個非常小的間隔$ \ Delta \ lambda $，並將其移動到不同的位置（但保持相同的大小），直到找到該間隔的$ dU $最大的位置。這就是密度達到最大的意思。固定波長的波長窗口在該波長處提供最多的能量。這些固定波長擴展（例如1mm或1 m或1 km）的窗口在將其移動到不同位置時並沒有固定的頻率擴展，因此與每個頻率的密度最大的地方無關。

換句話說：如果將每個發射頻率上的光子能量之和相加，則會注意到在該[頻率]處達到了最大值。

否，這一次在很多其他級別上都是錯誤的，這會帶來光子，並且能量密度取決於間隔中的總能量，這不是每個光子量度，而是完全不同的問題。而且我們不是在每個頻率上累加能量，而是在頻率間隔上累加能量，每個間隔的結果是$ dU = u_ \ nu \ Delta \ nu $。

現在$ E（\ lambda）$告訴您波長基本相同

除了我們使用相同的間隔，現在每個間隔都具有相同的$ dU $，但是$每個間隔的\ Delta \ lambda $是不同的，因此$ u_ \ lambda $是不同的。

我們知道最大能量在哪個頻率輻射，因此我們知道相應的波長。

我們可能知道哪個間隔$ dU $提供了最多的能量，如果所有間隔在頻率空間中的大小均為$ \ Delta \ nu $，則實際上我們可以取$ u_ \ nu = dU / \ Delta \ nu $，最大的將是$ u_ \ nu $最大的地方。但是要獲得$ u_ \ lambda $，我們必須計算$ u_ \ lambda = dU / \ Delta \ lambda $，而$ \ Delta \ lambda $在這些時間間隔上是不同的，因此使$ u_ \ nu = dU / \ Delta \ nu $最大不是使$ u_ \ lambda = dU / \ Delta \ lambda $最大的那個。

實際上歸結為知道什麼是能量密度，能量除以大量的東西（波長的分佈，頻率的分佈，體積的區域等）

賞金是為了得到有據可查的答案，所以我嘗試包括所有詳細信息，以便使這個答案本身可以回答一切。您真正需要知道的唯一一件事是密度，這是整數，每波長的能量$ u_ \ lambda $可以給出

$$ U = \ int u_ \ lambda d \ lambda，$$

表示任何波長范圍內的總能量。每個頻率的能量$ u_ \ nu $可以給出

$$ U = \ int u_ \ nu d \ nu，$$

表示任意頻率範圍內的總能量。絕對所有其他一切都源於對密度的定義。

讓我們回顧一下“光譜能量密度”一詞的含義。它表示以無窮小$ d \ lambda $或$ d \ nu $發出的能量。

現在由於關係$ \ lambda = \ frac {c} {\ nu} $，我們可以找到$ d \ lambda =-\ frac {c} {\ nu ^ 2} d \ nu $。

$ \分母中的nu ^ 2 $會導致給定的現象。我們可以將問題想成是找到在 Planck曲線中具有最大高度的盒子（$ d \ lambda $）。

顯然橙色框是所需的最大值。但是，如果我們用頻率表示給定的圖，則框的大小（$ d \ lambda $或$ d \ nu $）將由於$ \ nu ^ 2而改變結果，與波長曲線中最大高度相對應的框可能與最大波長不對應。頻率曲線的高度。這正是發生的情況，並且圖形在兩個不同的點達到峰值。

沒有太多的物理學涉及。下面的兩個圖形（$ \ sin（x）$和$ \ sin（x ^ {-1}）/ x ^ 2 $）對其進行了總結。最大的區域是綠色和藍色。在第一張圖中，區域具有相等的寬度。在第二張圖中，區域順序顛倒，寬度不相同。

這是除了 counting 以外不使用任何數學的答案，這就是我們需要解釋的現象。

使用此腳本生成的圖像。

擲骰子1000次。單個結果如下：

  10,6,11,4,6,8,7,5,7,5,11,6,9,8,11,5,7,11,7,6,8,9， 8,6,9,8,9,7,6,12 ...
 

現在，如果我們繪製每個結果的頻率，我們會發現出現頻率最高的是七個：

原因是可以通過許多不同方式（1 + 6、2 + 5、3 + 4、4 + 3、5 + 2和6 + 1）獲得結果7。只有兩個骰子都給出正好為1時才能獲得兩個。

現在人們可能希望繪製這些結果的倒數（範圍從$ \ tfrac1 {12} $到$ \ tfrac12 $）會在$ \ tfrac17 \約0.143 $處出現峰值。好吧，事實證明這並沒有發生-峰值實際上是$ 0.12 $：

這樣做的原因是 binning ：因為倒數在低值附近更加密集（$ \ tfrac1 {12} $和$ \ tfrac1 {11} $之間的間距僅為$ 0.0076 $，而$ \ tfrac13 $和$ \ tfrac12 $之間的間距為$ 0.16 $）。因此，實際上，在$ 0.12 $分箱中比在$ 0.14 $分箱中得到的結果更多。

現在，對於這個骰子示例，我們可以通過製作如此小的容器來消除此問題，以使每個可能的結果都有自己的容器：

在此視圖中，峰值 為$ 0.14 $。大多數垃圾箱為零。

但這只能起作用，因為很難對單個結果進行量化：例如，您不能得到兩個骰子的總和。 $ 8.734 $。
像普朗克光譜這樣的物理分佈是連續的，即，無論我們將這些容器製作得多麼小，每個容器中始終會有“不同的事件”。並且，在頻率空間中建立具有相等分佈的容器與在波長空間中具有等距的容器具有不同的結果。

物理學很簡單：波長不與頻率成正比，而是波長的“失真”函數，因此密度函數（因子為$ d \ nu $和$ d \ lambda $）不同。

對於變量$ x $有很多不同的選擇，它們描述了平面諧波EM波的類型（其頻率），每種選擇都可能導致不同的函數$ I_x（x）$，用於表示信號的原始頻譜分佈。研究了輻射。如果引入了新變量$ x'= T（x）$，則意味著一般等於

$$ I_x（x）= I_ {x'}（x'）~~~（1） $$

不需要滿足。如果是，則最大值$ I_x $將具有與$ x'$對應的$ x $，從而使$ I_ {x'} $最大化；

這是因為要完成對其他頻譜函數的轉換，而不是要求$$ I_x（x）dx = I_ {x'}（x'）dx'，$$連同對$$ \ frac {dx'} {dx}的值使用處方，$$來自關係$ T（x）$定義了基於$ x $的$ x'$。

由於這兩個函數$ I_x，I_ {x'} $不需要滿足（1），因此它們的最大值可能對應於不同種類的EM波，然後顯然是波長最大化$ I _ {\ lambda}（\ lambda）$不必是頻率最大化$ I_f（f）$的同一波。

是的，它使很多人感到困惑。從這個意義上講，我們應該有兩個維恩定律；一個給出最大波長，另一個給出頻率，再加上維恩定律，該定律將用一些新變量定義，例如$ \ nu ^ 2 $或$ \ lambda ^ 3 $。每次這樣做，我們都會獲得新的維恩定律。過於依賴我們對變量選擇的物理學應該放棄，因為它會引起混亂。有一個很好的出版物，他們提出了一個新的定義

https://arxiv.org/pdf/1109.3822.pdf