一種方法是解釋彈簧的實際工作原理。

螺旋彈簧是一根大金屬絲，纏繞成螺旋狀。從導線的角度來看，壓縮或拉伸彈簧時，實際上並沒有推動或彎曲。取而代之的是，您以一種或另一種方式纏繞電線。

順時針或逆時針旋轉桿應該是同一件事。

不幸的是，沒有物理原因使+ d和-d處的能量必須相同，因為通常情況下並非如此。如果充分拉伸，所有彈簧將是非線性和非對稱的。我們可以寫$ F = -kx $的原因是，對於總是足夠小的位移，您總是可以使力線性化，然後您只是假設您正在線性狀態下工作。您可能只需要向學生斷言，對於足夠小的位移，每個方向的能量都相同。另外，您可以使用其他系統，沒有理由相信能量不是對稱的，例如鐘擺。

您可能會提到的一個方面是，粒子的勢能與粒子所感受到的力有關（因為從數學上講，該力是勢能的負梯度）。這一點對於直觀的論點很有用。例如，您可以說能量不應該是| d |。因為這樣一來，無論彈簧被拉伸得多少還是很大，恢復力都將相同，這似乎是不合理的。

如果可能的話，您也可以讓學生在教室裡用彈簧進行測試，通過使彈簧在任一方向上保持不同的位移量來感受它們的力量，使他們在方向上對稱平衡點的角度，並且隨著您拉（或推得越遠）而增加。

這實際上是實踐與理論的問題。實際上，任何彈簧 都會產生非線性影響。但是從理論上講，我們沒有對其進行基本了解。因此，我們假設它是線性的。解決此問題的方法如下：如果彈簧主體從您的眼睛中隱藏起來，並且您只能使用連接到（隱藏）彈簧自由端的可移動手柄，那麼您將無法確定彈簧會以哪種方式變形（拉伸或壓縮）移動該手柄時-花費相同的能量使它變形相同的距離。除此之外，請考慮彈簧的一小段（例如，假設為螺旋彈簧的彈簧線的一小段）在拉伸時會彎曲一種方式，而在壓縮時會彎曲另一種方式。彎曲一塊金屬會壓縮一側，然後拉伸另一側，或者拉伸一側，然後壓縮另一側。如果彈簧是均勻的，則這是相同的變形。

您的學生是正確的。沒有胡克定律，彈簧將線性存儲能量。

也就是說，如果不管彈簧離“靜止”有多遠，延伸或壓縮琴弦的力都是恆定的，您將得到k | d |。通過移動彈簧d距離來存儲能量。

以這種方式工作的類似彈簧的裝置在物理上是可能的並且是合理的（非常好地近似）。如果您的論點不尊重這一事實，那麼您的論點是錯誤的，任何說服您的學生都是錯誤的。

但是，這是一個機會。給出兩個不同的方程式來存儲彈簧中的能量，其中一個方程式的| d |為| d |。還有一個d ^ 2。

找出如何確定更多是正確的。每個方程式預測什麼？

我假設他們知道能量=力乘以距離。與| d |您應該能夠證明“靜止”附近的小距離變化和“遠離靜止”的小距離變化應施加相等的力。

對於d ^ 2並非如此。靠近休息處進行一小段距離的運動，要比遠離休息處進行一小段運動。

現在我們有了一個預測：

• 如果E〜k | d |，則彈簧在靜止附近施加的力與彈簧在遠離靜止狀態施加的力相同。

• 如果E〜k d ^ 2，則彈簧在靜止附近施加的力遠小於彈簧在靜止附近施加的力。

在d ^ 2的情況下，您可以更進一步求出力，力大致與d成正比，但是不必這樣做。 ^{1 sup>}

現在，帶兩個彈簧。靠近休息放置一個。放置一個遠離休息的地方。系上它們，以便遠離休息的人試圖拉近休息的人。

如果| d |假設是正確的，因為兩個彈簧施加相同的力，所以該系統應該處於平衡狀態。

如果d ^ 2假設是正確的，那麼系統就不正確，距離靜止的一個應該拉近距離的一個。

然後...完成。我們只是通過實驗證明| d |是不正確的，並且d ^ 2至少與觀察結果一致。（我們尚未證明d ^ 2是正確，這需要更多工作）。

^{1 sup>假設彈簧的能量= 10 J *（d / 1 m）^ 2。}

1 cm和2 cm處的能量分別為0.0001 J和0.0004 J，大約為0.0003 Jδ。

1.01 m和1.02 m處的能量分別為1.0201 J和1.0404 J，這使我們得到約0.0203 J的Δ。

在2.01和2.02 m處的能量為4.0401和4.0804 J，給我們一個0.0403 J的變化量。

如果用J增量除以這些測試位置的平均距離，則假定力在小距離內不變，則我們得到F〜0.02 * d N / m。

如前所述，這不是上述論點的必要條件。

我不知道我是否正確，但是我想到的是：

您可以告訴他們使用（想像）兩個相同的彈簧，並使它們的一側彼此接觸並附接到另一側的牆壁上。現在，在彈簧的水平接觸點上施加力，以使一個彈簧被拉伸而其他彈簧被壓縮。

現在，彈簧被壓縮的距離是相同的。此外，對它們所做的工作是相同的（將包括彈簧力在內的所有力加在一起），這意味著存儲的或勢能相同。

如果我在某個地方出錯或忽略某些內容，請糾正我。

謝謝。

使用Occam的剃須刀，您走得太遠了！對於這種非常基礎的物理學，最好的方法是進行小型的現場實驗，然後交給自然界掌管。

用彈簧將其掛在某處，並以一定的重量$ W $拉伸一定距離$ d $。負載完成的功為：$ d \ times W = U $。通過測量幾個$ W $的$ d $，然後計算$ U $，您可以輕鬆地驗證伸長彈簧時的二次相關性。

負$ d $呢？為此，我們需要重複壓縮彈簧的實驗。通過將彈簧固定在表面上並在其頂部加載重物，您可以輕鬆找出相同的二次相關性。

最後，關鍵是彈簧是壓縮還是伸長，力和位移始終具有相同的符號（正或負），因此我們對彈簧始終具有正作用，並在其中存儲正能量。/ p>

如果要避免演算，請給他們一個幾何上的理解：繪製$ F與x $線，並聲明能量是x軸和曲線之間的面積。他們都知道三角形的面積（因此$ 1 / 2kx ^ 2 $）

但是...

表達式取決於彈簧。有些彈簧是恆力（恆力彈簧），因此勢能的表達式將不是二次方。

因此，避免數學的最好方法是斷言胡克定律適用於大多數彈簧，少量拉伸。如果他們問為什麼壓縮和拉伸能量相同，那就說有些彈簧是不正確的。

只需繪製“彈簧長度”與“施加力”的關係圖即可。希望他們會同意，如果將彈簧拉伸零距離，則不會施加力。希望他們也同意，如果您向正方向拉伸彈簧，則力為負，反之亦然。希望他們會同意，如果您增加伸展的距離，您會增加力量。因此，您應該能夠使他們同意圖看起來像這樣：

力的精確形式並不重要，僅取決於整體形狀。然後說：“我們將專注於彈簧僅少量拉伸時會發生的情況。”然後在零處畫切線：

希望他們都同意，只是從圖片上，這是位移很小時的一個很好的近似值。然後，您可以說，在這種近似情況下，彈簧被壓縮或拉伸時，彈簧施加的力顯然相等且相反。因此，彈簧應存儲相同量的能量。這是一種引入一階泰勒展開式的好方法，這是胡克定律的基礎，但這種方式易於圖形化理解。比起能量的二階泰勒近似，它更容易理解，因為如果您從未見過泰勒級數，為什麼不希望用拋物線近似事物，這並不明顯。但是很明顯，為什麼您可能想用直線近似事物。