存在一個著名的 Haag定理，該定理基本上表明QFT中的交互作用圖不存在。但是，每個人都可以使用它來計算QFT中的幾乎所有內容，並且效果很好。
為什麼？更具體地講，是粒子物理學：LSZ公式在哪個極限下起作用？ ！），其中互動圖片由於哈格定理而慘敗？
每個定理僅與假設（和命題）一樣強大。顯然，答案是
Haag定理在道德上是錯誤的，因為它研究了相互作用理論中的算子是否“嚴格”統一等於自由理論中的算子的問題：$$ O_ \ mathrm {interacting} = U O_ \ mathrm {free} U ^ {-1} $$毫不奇怪，Haag發現這樣的such等價並不存在。這不足為奇，因為，正如我們所知，算子從相互作用（和量子效應）中獲得異常維度，以及與經典直覺的其他偏差，並且在自由理論中有效的樸素代數不再適用於相互作用理論
特別是，相互作用的添加還修改了“直接”創建和消滅粒子的場之間的換向關係-至少是低能量有效場。例如，量子效應產生有效的拉格朗日方程，其中包含更高階的導數項，包括具有時間導數的新項，而後者則修改了規範的矩和/或規範的換向關係。當一個嚴謹的時候，添加交互時很多事情都會改變。 Haag僅假設“某些”事物發生了變化，因此他的結果對物理學無關緊要。
無論如何，這個1955年定理已經過時了-就像大多數以前被稱為代數量子場論或公理場論的學科一樣-並且要確保存在相互作用的量子場論-晶格QCD是一個例子如何定義它們的特定方法-同樣可以通過通常的攝動方法來計算所有物理振幅的攝動近似值，同時給出額外的原理和嚴格的改進，例如Haag定理的發明是為了證明人們所理解的第一個迴路圖-真空極化圖-存在問題。哈格先生不喜歡他們。但是，迴路圖沒有什麼問題-或任何其他迴路圖在隨後的幾十年中成為了粒子物理學的主要知識。重歸一化的發展表明，包括循環在內的計算是完全有效的。重歸一化小組取得了進一步的進步-解釋了為什麼理論具有普遍性以及減去無窮大的原因。哈格定理在1970年代變得令人誤解和過時。
尤其是，LSZ形式主義使用“絕熱假說”，即一種假設，即在漸近遙遠的過去中人們可能會忽略粒子之間的相互作用。通過緩慢連續地打開耦合常數，我們可以將自由粒子的狀態映射到描述相互作用的希爾伯特空間中粒子的狀態。只要粒子之間的所有距離都很大，這是可能的。但是，此過程不適用於附近粒子的一般配置-因此無法將這一技巧推廣為自由和相互作用的希爾伯特空間之間成熟的“規範”“等價關係。顯然，沒有這樣的“自然的”，“獨特的”或“規範的”同構性，因為自由的和相互作用的理論在物理上是不等價的。如果合理地理解，哈格定理除了說這個不言而喻的命題外沒有說什麼。但是，不需要這樣的同構來計算物理上有意義的量，例如散射幅度。
至少從作為經驗科學的物理學的觀點來看，應該清楚的是，QFT中的實際計算是好的科學-做出了預測並通過了將預測與實驗進行比較的測試-而Haag的定理不是因為它沒有預測通過經驗檢驗的任何事物。 Haag定理試圖發現以下問題：量子場論包含新的效應，例如重歸一化，而這種效應在具有有限數量的自由度的量子力學中沒有出現。但是，量子場論的這些額外影響是真實的和必不可少的，不會導致任何矛盾。
Haag定理不是進行粒子物理學的工具；對於不想學習粒子物理學的人來說，這是一個藉口。作為每個定理，它說“ A意味著B”。因為我們知道B是不正確的-微擾QFT顯然有效-因此，假設A是不正確的。
已經說了很多話……但是我認為我可以戳一個裂縫。
首先，讓我列出一些與此主題相關的參考文獻：這樣，我們可以為討論奠定基礎並就某個“共同的知識主題”達成共識（我理解以下給出的選擇可能存在異議和分歧，但我相信這些作品的歷史意義是不言而喻的。 —這份清單絕不是詳盡無遺的，我的意思是不尊重我可能忘記列出的作品）。
順便說一下，讓我發表一些評論。幸運的是，我不會離題太多，以至於失去了原來的道路……
從歷史上看，有兩個運動具有不同的名稱：公理（或代數）量子場論和建設性量子場理論。前者由上面的參考文獻（1）標記，後者則在量子物理：功能積分的觀點中進行了概述。他們倆在各自的時期都面臨著類似的障礙：懷特曼公理的第一個化身不允許[自發]對稱性的破壞（這一事實後來被雷·斯特雷特糾正了）；儘管Glimm & Jaffe的書仍然堅持認為[Feynman]路徑積分與獨特的量子理論相關（根據路徑積分對參數（又稱為耦合常數）的依賴性，我們不知道這是不正確的：不同的QFT）。實際上，這就是為什麼我沒有在上面的參考文獻列表中混合這些主題（代數和構造QFT）的原因。
Haag定理（以及Haag-Kastler的定理）定理）在歷史上屬於代數/公理QFT領域。但是，後來，隨著哈格及其追隨者的進一步發展，該領域自然地發展成為目前稱為局部量子物理學的事物。
有多種方法可以在晶格中嚴格定義歐幾里德QFT，然後採用其連續（熱力學）極限。但是，當然，我不記得（或從我的檔案中檢索）參考。 IIRC，它是來自波士頓大學的一個小組……但是，更重要的是，我知道誰能夠記住這一點：Pedro（lqpman ;-)。無論如何，西蒙（B. Simon）在這方面做了大量工作（即$ P（\ phi）_2 $歐幾里德QFT及其與統計力學的關係），不難說服自己嚴格的QFT可以適當定義（以不同的方式，使用不同的技術）。
有多種方法可以考慮QFT（或您所希望的量規理論），並因此以各種嚴格的方式來表述。讓我提出一個我認為較為直觀和直接的方法。在每個“現實生活場景”中，您都有最大的可用能量，即UV截止（稱為$ \ Lambda $）。通過這種簡單的實現，您就可以開始更加嚴格地構建成分：將QFT投射到一個間距為$ a = 1 / \ Lambda $的格子中。我的意思是，在“現實生活”中，我們一直在處理一種形式或另一種形式的有效場論-這並不完全不好，因為我們可以使用其UV尺度來構建晶格，我們將定義我們的理論。這是一種實現方法……另一種方法是使用UV截止的這種實現，而不是使用它來定義格化的QFT，我們可以使用它來定義 Vertex Operator Algebra。在這兩種情況下，最重要的是，我們通過定義某種形式的 OPE來處理乘以分佈（又稱為廣義函數）的問題：晶格和VOA的作用是定義特定的“您的理論“喜歡”的“點分裂”（即，使您的理論“表現良好”）。因此，您正在做的有效工作（對雙關語）是通過“點拆分”（OPE）的特定選擇來定義您的QFT，無論是藉助晶格還是通過VOA。然而，到最後，重要的是您以某種方式“分散了”您的理論……因此，您可以處理它並繞開Haag定理（僅在熱力學/連續譜極限中有效）。這就是幕後的事情。
從某種意義上講，可以對統計機械模型（例如Potts模型）進行相同的討論，該模型完全由其轉移矩陣（類似於QFT中的$ S $矩陣）確定。但是，當您嘗試採用該連續性/熱力學極限時，事情會很快變得複雜。當然，這是一個“技術”要點，一個“數學細節”，依此類推等等……但是，我認為這是這個問題的全部要點……如果我絕對錯了，那就不要理會這些“精妙之處”我的挑剔點。無論如何，由於無限自由度的限制，QFT不僅僅是“ S矩陣理論”或量子力學的天真擴展：俗話說，更多是不同的 。 ;-）
無論如何，這越來越長，也越來越晚（即，我餓了;-)…我的意思不是要給學校上學答案，但要將討論納入適當的路徑。我希望這會有所幫助。
對Lubos所寫內容的評論（似乎我需要更多的聲譽才能發表評論：-）
仍然有人在AQFT上生活並進行研究，所以也許AQFT已經過時了對於我們中的一些人來說，但這還沒有死。
我們仍然對QFT缺乏嚴格的數學理解。但是，當然每個人都可以忽略這一點，而使用已證明其價值的QFT計算工具。 Haag定理告訴我們，我們根本不知道為什麼擾動QFT的計算工具如此有效，但是就具體的計算而言，只要您正確地計算出數字，就不必擔心。因此，您不會發現任何因Haag定理而無法解決的計算。
任何相互作用的4D QFT的嚴格構造都必須以一種或另一種方式避免Haag定理。但是，如果在這個方向上進行研究的努力值得一試，那當然是一個謹慎的問題。
最初的兩個問題值得簡短回答。相反的順序：
2）“由於哈格定理而失敗的計算示例”。由於哈格定理，幼稚的擾動理論必須失敗。而且確實如此：當您計算係數時，它們幾乎是無限的。
1）“儘管有哈格定理，但為什麼QFT計算有效？”因為在交互畫面中未完成真實的QFT計算。正如已經指出的，萊迪思QFT根本不使用交互圖。同樣，LSZ形式主義也不使用交互圖。交互作用圖片唯一用於激勵重新規範化的擾動序列的ansatz。但是，當您改用歸一化擾動理論時，實際上是在放棄交互作用圖，因為您已對場強進行了歸一化。
Lubosh寫道：“ ...擾動的QFT顯然有效...”。不，它在初始近似（“裸”粒子，沒有預測的軟輻射）中以及在通過迭代搜索解的過程中（對初始近似的無限校正）很不幸地失敗了。這就是為什麼有這麼多問題的原因！
與實驗數據可比的是重新歸一化和IR求和結果（“修復後的解決方案”），與原始解決方案有很大不同。甚至在那之後，理論上仍然存在概念和數學上的困難。此外，還有不可重歸一化的理論，其中“修復解決方案”的嘗試無可避免地失敗。
QFT作為一項人類發明，存在嚴重的問題。它距離理想狀態很遠，需要維修。有時重新規範化是“有效的”，但並非總是如此，而且我們離“ QFT沒問題”的說法相去甚遠。我們應該嘗試其他構造。我不同意盧博什的說法“這是不可能的”，特別是如果借助重新歸一化和IR貢獻求和，我們擺脫了最初的錯誤近似並獲得了合理的結果。我相信我們可以從更好的初始近似開始，消除這些問題，然後直接得出最終結果。至少可以這樣說，拒絕這樣的機會是不明智的。
原因是物理數學原則上是離散的，有限的。您是否曾經測量過無限的東西？您是否遇到了適用於各種規模的物理定律，從而使無限可能出現？僅當我們將觀察到的物理定律外推到無限短距離時，在連續時空中投射的幼稚量子場論形式主義才會導致無窮大。這個問題的解決方法是眾所周知的：物理定律僅在觀察到的範圍內適用。更優雅的是，它們的使用範圍更廣，並且這種擴展是通過短距離和長距離截止來控制的，這反映了我們的無知。
收斂和極限是數學的概念，在過程中用在物理學中，以使臨界值不被干擾，並在方程式中隱藏最終的比例尺。消除短距離截止點，重新歸一化的收斂是一種方便，而不是物理上的必要性，例如標準模型的非漸近自由扇區大概是微不足道且不可重整的，時空被認為可以顯示出普朗克規模的粒度結構。
物理學中需要的是一種可調節的量子場論，該理論提供了一個數學上定義明確，無矛盾的平台，以研究所觀察到的具有可變截止範圍的現象。我們有例如晶格場論。
公理化和建構性的場論，尤其是哈格定理在物理學中起著非常重要的作用：它們引起人們對物理學的精確極限的關注，這是由大量美麗的數學概念組成的。