什麼是流形？

流形是數學中的一個概念，與先驗物理學無關。

想法如下：您可能在學校學習過歐幾里得幾何，所以您知道如何在一張平紙上繪製三角形等。與常見的說法相反，讓我們以“空格”來表示具有多個點的任何內容。歐幾里得平面（ $ \ mathbb {R} ^ 2 $ span>）或您的紙面是一個“空間”，您周圍的3d空間是一個“空間”或世界表面是一個“空間”（caveat：實際上，我想定義一個拓撲空間，它不是“有很多點的事物”，但在這裡不要分散注意力）。

現在，如果您查看球體的表面，那絕對不是歐幾里德空間：在歐幾里德幾何中，三角形中每個角度的總和為180°，這對於球的表面（球體）而言是不正確的。但是，如果只看球的一小塊，那幾乎是正確的。例如，即使從上方看，地球也不是平坦的。

流形是具有此屬性的每個“空間”：局部而言，它看起來像歐幾里得平面。圓是一個流形（局部看起來像一條線，是一維歐氏空間 $ \ mathbb {R} $ span>），球體（看起來像本地飛機），您的房間（看起來像3d歐式空間 $ \ mathbb {R} ^ 3 $ span>本地-忽略這裡的邊界），等等。

關於流形的一個很酷的事情是，這種局部看起來像歐幾里得空間的特性使得僅使用歐幾里得空間就可以完全描述它們。既然我們對歐幾里得空間非常了解，那是一件好事。例如，您可以製作一張英格蘭地圖-由於數學中對“地圖”一詞的使用有所不同，因此我們將其稱為“圖表”。儘管它確實是圓形物體的一部分，但這是描述英格蘭的一種非常好的方法。您可以將很多這些圖表拼湊在一起，以獲得覆蓋整個地球的完整地圖集，僅需使用2d紙就可以很好地描述地球。顯然，您需要一個以上的圖表來覆蓋整個地球而不會使某些點加倍，並且顯然，如果該圖表覆蓋的區域很大，則在某些地方看起來會非常失真，但是您可以看到。 >

那是多方面的。您可以在其中創建一個圖表集，每個圖表集都是一個歐氏空間（的一部分），描述了該空間的一部分。好的，不完全是：您需要的流形是可以通過一個不錯的操作從一個圖表到另一個圖表。例如，在您的地球地圖集中，某些圖表將重疊，而重疊在一張圖表上的點將在另一張圖表上重疊。換句話說，您在任意兩個圖表的重疊區域之間都有一個映射，並且該映射是連續的（此時您獲得拓撲流形）或可微的（此時您獲得可微的流形）。

到現在為止，對您來說應該顯而易見的是，我們周圍的空間可以區分。就像在學校裡做的那樣，在本地使用 $ \ mathbb {R} ^ 3 $ span>來描述它似乎非常準確。這也是流形輸入相對論的方式：如果添加時間維，結果是一個很好的猜測，您仍然可以將空間+時間建模為四維流形（這意味著每個圖表看起來都像 $ \ mathbb {R} ^ 4 $ span>本地）。

為什麼用流形為時空建模？

現在您知道什麼是流形，但是即使您了解如何可以將時空建模為流形，但這並不能真正告訴您為什麼應該 將時空建模為流形。畢竟，僅僅因為您可以做某事，但這並不總是使它特別有用。

請考慮以下問題：給定兩個點，它們的最短距離是多少？

[另外：在回答這個問題之前，我想提一提，儘管我之前討論過距離和角度之類的東西，但是您不一定在任意歧管上都具有這些概念，因為可能無法為您的基礎“空間”，但是如果您有一個“可分流形”（意味著在重疊區域中使您從圖表到圖表的功能是可微的），則可以這樣做。在這一點上，談論距離成為可能。對於物理學，特別是廣義相對論，您總是有距離和角度的概念。]

回到最短距離的問題：在 $ \ mathbb {R} ^ n $ span>中，答案很簡單。兩條線之間的最小路徑是它們之間的直線。但是在一個球體上？為了定義這一點，首先需要在球體上有一個距離。但是該怎麼做呢？到那時，我已經知道最短的距離是多少！

這是一個主意：例如，如果考慮從倫敦飛往布宜諾斯艾利斯的航班，“最短路徑”是什麼？好吧，在某些 $ \ mathbb {R} ^ 3 $ span>中，地球或多或少是一個球體。那是一個歐幾里得空間，所以您知道如何計算那裡的距離，因此最短路徑就是所有可能路徑中的最小距離。簡單。但是，存在一個問題：這僅能起作用，因為我們有一些周圍的三維空間。但這不是必須的-實際上，我們自己的“空間”似乎並未嵌入四個空間維度的維超空間（或任何您想稱呼它的空間）中。

這是另一個想法：您的流形局部看起來像一個歐幾里得空間，答案很簡單。如果僅在本地定義距離，然後以某種方式將其修補以使其有意義，該怎麼辦？

美麗的是，可區分的歧管為您提供了實現此目標的工具。這樣，您可以創建距離度量（稱為黎曼度量），即使沒有環境空間，也可以計算點之間的最短路徑。但這並不止於此。什麼是平行線？局部坐標系會怎樣？例如，如果您乘飛機飛行，似乎總是向前方看，但是視場不是一直在直線上，那麼視場沿路徑如何變化？有了指標，一切就變得簡單明了。

很顯然，所有這些問題都是您可以詢問的周圍環境（時間）的問題-您希望得到答案！您實際上應該能夠為我們的宇宙回答這些問題，這似乎也很自然。

那麼，我們空間的度量標準是什麼？我們可以在本地將它們修補在一起嗎？好吧，我們可以，但是它不會是唯一的，那麼如何確定正確的指標呢？這正是廣義相對論的含義：廣義相對論的基本方程式告訴我們，時空中的距離度量如何與物質和能量相關。

關於拓撲的更多信息（如果您有興趣的話）

最後，如果您想進一步了解我在上面遺漏的“空間”方面，讓我們仔細看看。您想要的不是任何點集，而是每個點都有鄰域的點集。您可以將一個點的鄰域視為以某種方式“接近”該點的多個點。就像在現實生活中一樣，您的鄰居可能很大，可以包含所有空間，甚至都不能連接，但必須以某種方式始終包含緊鄰您的點。實際上，如果您有一個距離度量值，例如 $ \ mathbb {R} ^ n $ span>中的歐幾里得距離，則所有球都將給出一組鄰域在任何點上的所有大小。但是，您也可以在沒有距離測量的情況下定義這些鄰域，但是仍然可以以某種方式想到“附近”。

這些空間足以讓您定義“連續函數”，其中某個函數在某個點處是連續的，如果所有點“靠近”此點（在某些鄰域中）都保持“靠近”到映射後的點（意味著它們再次被映射到某個鄰域）。通常，特別是對於我們真正想在相對論中討論的所有流形，您會在空間中添加更多條件以具有更好的屬性，但是如果您想了解這一點，我建議您開始學習真正的數學定義。還有很多其他答案涵蓋了基礎知識！

為了介紹光滑流形的概念，我將首先介紹拓撲流形。

拓撲歧管

我們說$ M $，一個拓撲空間，如果

也是拓撲流形

• 對於我選擇的任何兩個點，例如M $中的$ p，q \，在空間$ M $中存在不相交的開放子集$ U $和$ V $，使得$ p \ in U $和$ q \在V $中。換句話說，它們可以被鄰居隔開。
• $ M $的拓撲存在一個可數基礎，這就是說我們可以從一堆其他開放集的聯合中構造$ M $中的任何開放集。基礎$ B $，並且該基礎是可數的。
• 至關重要的是，M $中的每個點$ p \ p都有一個鄰域，該鄰域與$ \ mathbb {R} ^ n $的一個開放子集同胚。換句話說，存在一個連續函數，該函數從該鄰域到$ \ mathbb R ^ n $中的一個開放集合具有連續的逆，這就是我們局部歐幾里得的意思。

再次強調一下，我們可以選擇M $中的任何$ p \和包含$ p $的開放集$ U \子集M $，我們保證能夠構造同胚性$ \ psi：U \ to \ tilde U $其中$ \ tilde U \ subset \ mathbb R ^ n $。另外，對局部歐幾里得的這種定義完全等同於能夠在$ \ mathbb R ^ n $或$ \ mathbb R ^ n $本身中為開球構造同胚。前兩個要求相當正式，而接下來的三個要求則至關重要。

Charts

為繼續構建平滑流形的概念，我們引入了坐標圖。特別是，坐標圖是一對$（U，\ varphi）$，其中$ U \ subset M $是一個開放集，而$ \ varphi（U）\ subset \ mathbb R ^ n $是我們所說的同胚，到$ \ mathbb R ^ n $。

地圖$ \ varphi $是局部坐標圖，其組成部分是坐標，而$ U $是坐標鄰域。

S平滑結構

為了能夠在這樣的流形上進行微積分，我們必須為其添加平滑的結構。如果$（U，\ varphi）$和$（V，\ psi）$是兩個圖表，其中$ U \ cap V \ neq \ varnothing $，則映射圖

$$ \ psi \ circ \ varphi ^ {-1}：\ varphi（U \ cap V）\ to \ psi（U \ cap V），$$

稱為過渡圖，是一種同胚。如果該過渡圖是微分同形的，則這兩個圖是平滑兼容的。也就是說，所有分量對所有階均具有偏導數，是雙射的，並且逆是連續的。

我們可以將地圖集 $ \ mathcal A $定義為涵蓋整個流形的圖表集合，因此任何點都必須屬於這些圖表之一的域。注意，這意味著我們不需要一個坐標系覆蓋整個流形。

您可能會猜測，如果所有圖表如上所定義都可以順利兼容，那麼我們將$ \ mathcal A $稱為平滑地圖集。

在到達重點之前，我們可以有一個具有許多平滑圖集的流形$ M $，因此在以下定義中，我們選擇 maximum （一個最大）或一個完全，因為每個平滑兼容的圖表都包含在$ \ mathcal A $中。

一個光滑流形是對$（M，\ mathcal A）$，我們可以定義一個函數$ f：M \ to \ mathbb R ^ n $如果$是光滑的f \ circ \ varphi ^ {-1} $對於每個圖表都是平滑的。

我們如何使用流形為時空建模？

在廣義相對論中，我們將時空視為黎曼流形，這進一步限制了光滑流形的概念。

每個黎曼流形都配備了度量張量$ g_p（X，Y）$，該度量張量取T_p M $中的兩個切向量$ X，Y \，它們位於切線空間中的點$ p $，並且給出向量的長度和向量之間的角度的概念是廣義的。

與物質的時空曲率有關的愛因斯坦場方程，被建模為流形，顯然取決於該度量$ g $。

流形是一個數學概念。

在數學中，流形是一個拓撲空間，局部類似於每個點附近的歐幾里得空間。更精確地講，$ n $維流形的每個點都具有一個鄰域，該鄰域與維數$ n $的歐幾里德空間同胚。

它的使用允許從經典的歐幾里得空間中進行概括，並且由於廣義相對論通過構造扭曲了空間和時間，因此流形是將“坐標”描述為從歐幾里德空間扭曲的恰當詞。

從歷史上看，流形是出於以下想法而產生的。

我們經常將各種表面（例如球體或圓柱體）放置在三維歐幾里得空間中，然後從中研究幾何形狀。但是，有一些奇怪之處：

• 曲線實際上並沒有任何“內部”形狀，但是在歐幾里得空間中繪製曲線會產生各種曲率！
• 通常的圓柱體是 flat 表面，儘管人們可能天真地看著它，認為它的圓形意味著它是彎曲的。
• 從球形幾何和雙曲幾何中我們知道形狀可以具有一些非平凡的固有幾何。

因此，這裡存在一個不平凡的問題，即區分哪些幾何部分實際上是我們研究的形狀固有的，哪些幾何部分是外部的，這是我們將形狀放置在歐幾里得空間中的偶然原因。

流形的想法是為了解決這個問題而發明的-它提供了一種有用的方式，以純內在的方式處理有趣的形狀，這確保了我們以這種方式研究的所有幾何圖形都是流形的真正內在。

基本思想是用坐標圖覆蓋形狀，並在坐標圖上使用微積分描述幾何形狀。考慮使用地圖來表示地球表面。

對於物理學來說，流形以完全相反的方式發揮作用。我們在基本為坐標圖的物理領域擁有數百年的經驗，我們知道這大致就是宇宙在足夠小的比例尺上的樣子，但是宇宙的大規模拓撲可能比這更複雜。

輸入流形，這是有關如何將坐標圖組合在一起以描述更有趣的拓撲空間的預製數學理論。

即使人們對更有趣的流形不感興趣，由於現代數學原理，它們仍然發揮作用-微分幾何是 語言，用於在多變量微積分中進行複雜的計算，尤其是當涉及幾何思想時，微分幾何的理論和實踐通常是在流形上發展的。

$ n $-流形的常見定義是：類似於每個點附近的歐幾里德空間的拓撲空間（而流形是任何$ n $-歧管）。這意味著，如果您在歧管中佔據任意點，則在該點周圍總會存在一個足夠小的球，在該點處空間可以連續變形為平坦空間。一個簡單的例子是一個圓圈。這是$ 1 $的流形，因為如果您使用它的任何連接子空間，即使您不能用整個圓都可以將其拉直成一條線（歐幾里德$ 1 $-空間）。任何簡單的平滑曲線都可以說相同（“簡單”表示非自相交，“平滑”表示可微）。同樣，球體，圓環和其他光滑表面也是$ 2 $流形。

更微妙的一點是流形及其嵌入之間的區別。納什的一個強大定理表明，對於每個$ n $流形$ M $，都存在一些$ m \ geq n $，使得$ M $嵌入$ \ mathbb {R} ^ m $中。從抽象的意義上講，即使對$ \ mathbb {R} ^ 2 $的所有嵌入都是自相交的（也許在$ \ mathbb { R} ^ 3 $）。但是，自交曲線的固定嵌入在技術上並不是多方面的，因為它的點看起來像$ + $（而不是$ \ mathbb {R} $）。同樣，儘管Klein瓶嵌入到$ \ mathbb {R} ^ 3 $中是自相交的，但它也可以作為$ 2 $流形嵌入$ \ mathbb {R} ^ 4 $中。

時空是$ 4 $維。如果我們想到時空的空間部分隨時間連續變形，那麼流形概念的通常應用就適合於此。在此模型中，在任何固定的時間點，宇宙都可以被認為是$ 3 $流形，但它必須滿足附加約束。一方面，我們假設宇宙是同胚的和各向同性的。另一方面，這樣的3美元流形必須作為4美元維結構的橫截面才有意義。

由於比爾·瑟斯頓（Bill Thurston）從1970年代開始的開創性工作，3維的同胚流和各向同性流形一直是數學研究中非常活躍的主題。在這些流形中，有一個是平坦的（歐幾里得$ 3 $空間），一個是正曲率（$ 3 $球面），並且有無限多的雙曲結構。一些數學家認為，時空的空間部分可以用雙曲線流形來建模，儘管在物理學上尚未廣為人知（如下所述）。在80年代初，傑夫·威克斯（Jeff Weeks）發現了最小體積的封閉雙曲線$ 3 $流形，有人希望這是宇宙的模型，但它未能滿足作為時空的空間截面的要求。最近，根據微波背景輻射的數據， Weeks猜想正確的模型是Poincare十二面體空間（就像一個面朝$ 12 $的骰子，每次您從一張臉離開時，您都會回來通過另一個旋轉），這也是雙曲線的。

許多物理學家認為，根據我們對可觀察部分曲率的測量，宇宙是平坦的。但是（從我作為拓撲學的數學家的角度出發，這種說法是有偏見的），如果可觀察的宇宙只是普通宇宙的一小部分，那麼流形的定義告訴我們我們應該期望它看起來平坦無論其實際的拓撲結構如何。作為整體，時空中一般宇宙的拓撲（空間的一部分）是一個有趣的話題。

或者，隨著時間的流逝，人們可以將宇宙看作是$ 4 $的流形，儘管對它們的了解還不夠。在物理學中，宇宙還有更高維度的理論。在數學中，定義$ n $流形對$ n \ in \ mathbb {N} $沒有限制。還有無窮維流形（例如 Banach流形）以及$ n \ in \ mathbb {Q} ^ + $，即分數維流形（分形），但是這些概念與時空模型關係不大。

答案非常好，它們在概念上以及準確性上都進行了很好的描繪，什麼是流形，如何用它來描述固有的彎曲空間，以及連續性和可微性的思想是如何產生的？將所有本地圖表合併在一起。

我想描述物理學家到達4維時空的方式。包括時間是至關重要的，也是從狹義相對論出發的起點。或者換句話說，為什麼使用幾何構造（特別是黎曼幾何）以與狹義相對論和引力一致的方式來建模/描述動態空間和時間，時空，在物理上是有意義的。我可能在歷史上並不完全準確，但它更接近於物理思維。然後，從物理上更進一步地解釋了流形或黎曼幾何是如何描述時空及其動力學的合適結構。這不僅是一個黎曼實體，而且是一個動態的實體。

從歷史上看，這在物理學上與在數學上有所不同，儘管基本上具有相同的含義，然後為黎曼幾何開發了數學，這是獲取方程式和仔細研究概念的關鍵工具。在物理學中，時空的概念最早是由愛因斯坦提出的，它是平坦的時空（儘管後來有了時空這個名字），而洛倫茲（和平坦的）度量則是在狹義相對論中使用的合適度量。最初沒有想到時空，或者說x，y，z和t坐標的彙編以任何方式定義了動態或變化的實體。只是以為任何慣性觀測者都可以選擇它們，所以我們進行了洛倫茲變換。

愛因斯坦（可能有其他人對此做出了貢獻，有人討論了多少），通過各種書籍中描述的歷史，得出了等效原理，即引力似乎與簡單地處於恆定狀態具有相同的作用。加速參考系，然後愛因斯坦開始考慮（偽）黎曼幾何作為用測地線描述運動的一種方式，以及後來被稱為時空的4維偽黎曼實體，其物理獨立於坐標系，即觀察者的坐標系。通過觀察到在弱磁場極限和低速度下，它減小為牛頓重力，以及其他一些東西，他得到了磁場方程。他確實使用了黎曼幾何的完整結構，當時還不為人所知，但是在那裡。之所以要這樣做，是因為他需要描述一些獨立於坐標系的東西，無論是慣性，加速還是其他。我不知道該詞是否存在。但是可微性是黎曼“空間”的一部分。

愛因斯坦和他的一些同事發現幾何學能夠描述重力是一個非常深刻的發現。它與等效原理有關，等效原理主要來自於慣性（運動，時空變化）和重力質量（力）的等效。這種等效性對其他任何一種力都不成立，到目前為止，不可能將愛因斯坦的引力理論與其他任何一種力統一起來。

這是我的非物理學家的觀點。歧管是局部彎曲的彎曲空間。考慮一下地球表面，它是一個二維流形（可以使用兩個坐標-緯度和經度來描述）。可以使用歐幾里得幾何來描述地球表面的小塊；幾何形狀破裂後，更大的區域無法顯示。

在相對論中，流形（a）具有四個維度（三個空間，一個時間），被稱為時空； （b）是可區分的； （c）通過稱為度量的函數進行描述，該函數給出了無限接近的兩點之間的時間差和距離。不同的坐標系具有不同的度量標準，這些度量描述了無限接近的點之間的相同距離。使用該度量，可以構造一個稱為Riemann曲率張量的四索引張量。當且僅當該張量為零時，該點處的空間才平坦，否則它是彎曲的。

狹義相對論處理平坦的時空（稱為Minkowski時空），即處理重力影響可忽略的情況。質量能曲線時空。自由物體或光線將遵循時空兩點之間的最短路徑（也就是測地線）。為了計算該路徑，您需要了解指標。最常見的兩個度量是Minkowski度量（描述平坦的時空）和Schwarzschild度量（描述圍繞像我們的太陽這樣的球對稱對象的時空）。

已經有好幾個答案。因此，我將嘗試寫一個簡短的答案，僅回答問題而無需任何詳細討論。

在狹義相對論發明之後，愛因斯坦試圖發明一種洛倫茲不變的引力理論，但沒有成功。最終，通過用彎曲的時空代替Minkowski時空，即通過重力的幾何化解決了該問題。在彎曲的時空中，曲率是由能量和動量產生的（並反作用）。

歧管是數學特別是幾何學中的基本概念之一。我們都知道n維歐幾里德空間 $ \ mathbb {R} ^ n $ span>和n個元組 $（x ^ 1，x ^ 2，...，x ^ n）$ span>。流形的概念反映了一個可能是彎曲的並且可以具有復雜拓撲的空間的概念，但是它類似於 $ \ mathbb {R} ^ n $ span的拓撲>在當地。整個歧管是通過將這些局部區域平滑地縫製而成的。

因此，流形結構提供了一個自然的環境，可以根據愛因斯坦等效原理建立引力理論：彎曲的時空類似於局部時空，在這裡狹義相對論保持良好。